第一章習題解答
1． 設隨機變數x服從幾何分布，即：。求x的特徵函式，ex及dx。其中是已知引數。
解 =
又其中）
令 則同理
令則）2、（1） 求引數為的分布的特徵函式，其概率密度函式為
（2） 其期望和方差；
（3） 證明對具有相同的引數的b的分布，關於引數p具有可加性。
解 （1）設x服從分布，則
（2）（4） 若則
同理可得：
3、設x是一隨機變數，是其分布函式，且是嚴格單調的，求以下隨機變數的特徵函式
（1）（2）
解 （1
在區間[0，1]上服從均勻分布
的特徵函式為
（2）4、設相互獨立，且有相同的幾何分布，試求的分布。
解5、 試證函式為一特徵函式，並求它所對應的隨機變數
的分布。
證 （1）
為連續函式
非負定（2）6、證函式為一特徵函式，並求它所對應的隨機變數的分布。
解 （1）
且連續為特徵函式
（2）7、設相互獨立同服從正態分佈，試求n 維隨機向量的分布，並求出其均值向量和協方差矩陣，再求的率密度函式。
解 又的特徵函式為：
均值向量為
協方差矩陣為
又 8、設x．y相互獨立，且（1）分別具有引數為及分布；（2）分別服從引數為。求x+y的分布。
解（1）
則（2）
9、已知隨機向量（x、y）的概率密度函式為
求其特徵函式。
解 10、已知四維隨機向量服從正態分佈，均值向量為0，協方差矩陣為
解又其中11、設相互獨立，且都服從，試求隨機變數組成的隨機向量的特徵函式。
解＝12、設相互獨立，都服正態分佈，試求：
（1） 隨機向量的特徵函式。
（2） 設，求隨機向量的特徵函式。
（3） 組成的隨機向量的特徵函式。
解（１）
（２）（３）13、設服從三維正態分佈，其中協方差矩陣為，且試求。
解 ＝
又同理可得
14、設相互獨立同服從分布。試求的期望。
解 令
則＝15、設x．y相互獨立同分布的隨機變數，討論的獨立性。
解有或 則
又服從指數分布， 服從柯西分布，且
對有 相互獨立。
16、設x． y相互獨立同服從引數為1的指數分布的隨機變數，討論的獨立性。
解（1）
(2)3) 對均成立
相互獨立
17、設二維隨機變數的概率密度函式分別如下，試求
（1）（2）
證 （1）
（2）18、設x、y是兩個相互獨立同分布的隨機變數，x服從區間[0，1]上的均勻分布，y服從引數為的指數分布。試求（1）x與x+y的聯合概率密度；（2）
解令則（2）19、設是一列隨機變數，且，其中k 是正常數。試證：
（1） 當。
（2） 當均方收斂於0；
（3） 當
證令0(當，) 幾乎肯定
收斂於0
當均方收斂於0
當時，即20、設
證 =
第二章習題解答
1.設是獨立的隨機變數列，且有相同的兩點分布，令，試求：
（1） 隨機過程的乙個樣本函式；
（2） 之值；
（3） ；
（4） 均值函式；
（5） 協方差函式；
解： （1）當時，，
（2） 2 0 -2
當n 為奇數時
當n為偶數時
（４）而（５）若即有2.設，其中a、b是相互獨立且有相同的分布的隨機變數，是常數，，試求：
（1）x（t）的乙個樣本函式；
（2）x（t）的一維概率密度函式；
（3）均值函式和協方差函式。
解：（1）當a=b=1時，
（2～（3）3.設隨機過程。其中是相互獨立的隨機變數，且～。
（1）求的均值函式和相關函式；
（2）證明是正態過程。
解：（1）
（2）其中，
由n維正態分佈的線性性質得
～因此x(t)是正態過程。
4.設是引數為的wiener過程，求下列過程的均值函式和相關函式：
（12）
（34）
解：（1）
（2）（3）
（4）5.設到達某商店的顧客組成強度為的poisson流，每個顧客購買商品的概率為p,且與其他顧客是否購買商品無關，若是購買商品的顧客流，證明是強度為的poisson流。
證：令表示「第個顧客購買商品」，則且。其中為時間段內到達商店的顧客人數，則的特徵函式為
是強度為的poisson流。
6.在題5中，進一步設是不購買商品的顧客流，試證明與是強度分別為和的相互獨立的poisson流。
證：（1）
與獨立且強度為的poisson流。
7.設和分別是強度為和的獨立poisson流。試證明：
（1）是強度為的poisson流；
（2）在的任一到達時間間隔內，恰有k個時間發生的概率為
證：（1）
是強度為的poisson流。
（2）令t表示過程任兩質點到達的時間間隔。a表示恰有1個事件發生在的任一到達時間間隔內，則
8.設是poisson過程，和分別是的第n個事件的到達時間和點間間隔。試證明：
（1）；
（2）。
證：9.設某電報局接收的電報數組成poisson流，平均每小時接到3次電報，求：（1）一上午（8點到12點）沒有接到電報的概率；
（2）下午第乙個電報的到達時間的分布。
解：10.設和分別是強度為和的獨立poisson過程，令，求的均值函式與相關函式。
解：11.設是強度為的poisson過程，t是服從引數為的指數分布的隨機變數，且與獨立，求內事件數n的分布律。
解：由內n的分布律為：
第三章習題解答
1．證明poisson隨機變數序列的均方極限是poisson隨機變數。
證：令是poisson隨機變數序列，則對
又，其中x為poisson隨機變數。
2．設，是獨立同分布的隨機變數序列，均值為，方差為1，定義，證明。
證： 。
3．研究下列隨機過程的均方連續性、均方可導性和均方可積性。
（1），其中a、b是相互獨立的二階矩隨機變數，均值為a、b，方差為；
（2），其中a、b、c是相互獨立的二階矩隨機變數，均值為a、b、c，方差為；
（3）是poisson過程；
（4）是wiener過程。
解：（1）
是關於s, t的多項式函式
存在任意階的偏導數
過程是均方連續，均方可導，均方可積。
(2)（3）由知poisson過程是均方連續，均方可積的。
不存在，即均方不可導。
（4）由知wiener過程是均方連續，均方可積的。
不存在，即均方不可導。
4．試研究上題中過程的均方可導性，當均方可導時，試求均方導數過程的均值函式和相關函式。
解：（1）均方可導
又均方可微。
（2）均方可導，且
（3）poisson過程均方不可導。
（4）wiener過程均方不可導。
5．求下列隨機過程的均值函式和相關函式，從而判斷其均方連續性和均方可微性。
（1），其中是常數，服從上的均勻分布；
（2），其中引數為1的wiener過程；
隨機過程習題
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