必修一一、集合
一、集合有關概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性:
(1) 元素的確定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互異性如:由happy的字母組成的集合
(3) 元素的無序性: 如:和是表示同乙個集合
3.集合的表示: 如:,
(1) 用拉丁字母表示集合:a=,b=
(2) 集合的表示方法:列舉法與描述法。
◆ 注意:常用數集及其記法:
非負整數集(即自然數集) 記作:n
正整數集 n*或 n+ 整數集z 有理數集q 實數集r
1) 列舉法:
2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。 ,
3) 語言描述法:例:
4) venn圖:
4、集合的分類:
(1) 有限集含有有限個元素的集合
(2) 無限集含有無限個元素的集合
(3) 空集不含任何元素的集合例: b= 「元素相同則兩集合相等」
即:① 任何乙個集合是它本身的子集。aa
②真子集:如果ab,且a b那就說集合a是集合b的真子集,記作ab(或ba)
③如果 ab, bc ,那麼 ac
④ 如果ab 同時 ba 那麼a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
◆ 有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集
二、函式
1、函式定義域、值域求法綜合
2.、函式奇偶性與單調性問題的解題策略
3、恆成立問題的求解策略
4、反函式的幾種題型及方法
5、二次函式根的問題——一題多解
&指數函式y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b屬於q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b屬於q)
(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b屬於q)
指數函式對稱規律:
1、函式y=a^x與y=a^-x關於y軸對稱
2、函式y=a^x與y=-a^x關於x軸對稱
3、函式y=a^x與y=-a^-x關於座標原點對稱
&對數函式y=loga^x
如果,且,,,那麼:
·+;-;
.注意:換底公式
(,且;,且;).
冪函式y=x^a(a屬於r)
1、冪函式定義:一般地,形如的函式稱為冪函式,其中為常數.
2、冪函式性質歸納.
(1)所有的冪函式在(0,+∞)都有定義並且圖象都過點(1,1);
(2)時,冪函式的圖象通過原點,並且在區間上是增函式.特別地,當時,冪函式的圖象下凸;當時,冪函式的圖象上凸;
(3)時,冪函式的圖象在區間上是減函式.在第一象限內,當從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當趨於時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.
方程的根與函式的零點
1、函式零點的概念:對於函式,把使成立的實數叫做函式的零點。
2、函式零點的意義:函式的零點就是方程實數根,亦即函式的圖象與軸交點的橫座標。
即:方程有實數根函式的圖象與軸有交點函式有零點.
3、函式零點的求法:
(代數法)求方程的實數根;
(幾何法)對於不能用求根公式的方程,可以將它與函式的圖象聯絡起來,並利用函式的性質找出零點.
4、二次函式的零點:
二次函式.
(1)△>0,方程有兩不等實根,二次函式的圖象與軸有兩個交點,二次函式有兩個零點.
(2)△=0,方程有兩相等實根,二次函式的圖象與軸有乙個交點,二次函式有乙個二重零點或二階零點.
(3)△<0,方程無實根,二次函式的圖象與軸無交點,二次函式無零點.
三、平面向量
向量:既有大小,又有方向的量.
數量:只有大小,沒有方向的量.
有向線段的三要素:起點、方向、長度.
零向量:長度為的向量.
單位向量:長度等於個單位的向量.
相等向量:長度相等且方向相同的向量
&向量的運算
加法運算
ab+bc=ac,這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個從同一點o出發的兩個向量oa、ob,以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oacb,則以o為起點的對角線oc就是向量oa、ob的和,這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對於零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法滿足所有的加法運算定律。
減法運算
與a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
數乘運算
實數λ與向量a的積是乙個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作λa,|λa|=|λ||a|,當λ > 0時,λa的方向和a的方向相同,當λ < 0時,λa的方向和a的方向相反,當λ = 0時,λa = 0。
設λ、μ是實數,那麼:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ μ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法運算、減法運算、數乘運算統稱線性運算。
向量的數量積
已知兩個非零向量a、b,那麼|a||b|cos θ叫做a與b的數量積或內積,記作a?b,θ是a與b的夾角,|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數量積為0。
a?b的幾何意義:數量積a?b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。
兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和。
四、三角函式
1、善於用「1「巧解題
2、三角問題的非三角化解題策略
3、三角函式有界性求最值解題方法
4、三角函式向量綜合題例析
5、三角函式中的數學思想方法
15、正弦函式、余弦函式和正切函式的圖象與性質:
必修四角的頂點與原點重合,角的始邊與軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角.
第一象限角的集合為
第二象限角的集合為
第三象限角的集合為
第四象限角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在座標軸上的角的集合為
3、與角終邊相同的角的集合為
4、已知是第幾象限角,確定所在象限的方法:先把各象限均分等份,再從軸的正半軸的上方起,依次將各區域標上
一、二、三、四,則原來是第幾象限對應的標號即為終邊所落在的區域.
5、長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度.
口訣:奇變偶不變,符號看象限.
公式一設α為任意角,π α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
:公式二:
設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函式的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式三:利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式四:任意角α與 -α的三角函式值之間的關係:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈z)
其他三角函式知識:
同角三角函式基本關係
⒈同角三角函式的基本關係式
倒數關係:
tanα cotα=1
sinα cscα=1
cosα secα=1
商的關係:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方關係:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
兩角和差公式
⒉兩角和與差的三角函式公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ
tan1-tanα tanβ
tanα-tanβ
tan1+tanα tanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(公升冪縮角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
2tanα
tan2α=—————
1-tan^2(α)
半形公式
⒋半形的正弦、余弦和正切公式(降冪擴角公式)
1-cosα
sin^2(α/2)=—————
21+cosα
cos^2(α/2)=—————
21-cosα
tan^2(α/2)=—————
1+cosα
萬能公式
⒌萬能公式
2tan(α/2)
sinα=——————
1+tan^2(α/2)
1-tan^2(α/2)
cosα=——————
1+tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα=——————
1-tan^2(α/2)
和差化積公式
⒎三角函式的和差化積公式
α+β α-β
sinα+sinβ=2sin—----cos—---
2 2α+β α-β
sinα-sinβ=2cos—----sin—----
2 2α+β α-β
cosα+cosβ=2cos—-----cos—-----
2 2α+β α-β
cosα-cosβ=-2sin—-----sin—-----
2 2積化和差公式
⒏三角函式的積化和差公式
sinα cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
高一數學知識點總結
必修一 一 集合 一 集合有關概念 1.集合的含義 2.集合的中元素的三個特性 元素的確定性 元素的互異性 元素的無序性 3.集合的表示 如 1 用拉丁字母表示集合 a b 2 集合的表示方法 列舉法與描述法。注意 常用數集及其記法 非負整數集 即自然數集 記作 n 正整數集 n 或 n 整數集z ...
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