簡介章建躍數學4（必修）的內容包括三角函式、平面向量、三角恒等變換。
三角函式是描述週期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用。這是學生在高中階段學習的最後乙個基本初等函式。向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函式的一種工具，有著極其豐富的實際背景，在數學和物理中都有廣泛的應用。
三角恒等變換在數學中有一定的應用。
全書共需36課時，具體分配如下：
第一章三角函式16課時
第二章平面向量12課時
第三章三角恒等變換8課時
一、本模組的地位作用
通過本模組的學習，學生將在如下一些方面得到提高。
1．加深對數學與實踐關係的認識。
三角函式、向量都是刻畫現實世界某些現象的重要數學模型。週期變化現象在現實中大量存在，如**的旋律、波浪、晝夜的交替、潮汐、鐘擺的運動、交流電等，這些現象都可以用三角函式來描述。實際上，三角函式的產生、發展與解決具有週期性變化規律的問題的需要密切相關。
力、速度、位移等也是實際生活中所常見的，它們是向量的實際背景，也是向量描述的物件。因此，三角函式、向量的學習能使學生加深認識數學與實踐的緊密聯絡，通過用三角函式、向量解決實際問題的實踐體會數學的作用和價值，學習用數學的觀點看待和處理日常生活以及其他學科的問題的方法。
2．認識數學內容的聯絡性，學習數學研究的方法。
三角函式與數學1中的函式概念有著特殊與一般的關係，三角函式的研究以一般函式概念及其研究方法為指導，同時三角函式的學習可以加深對函式概念的理解。三角函式及其性質與圓及其性質有著直接的聯絡，三角函式的研究很好地體現了數形結合思想。在三角函式的研究中，借助單位圓進行幾何直觀是非常重要的手段，而且這也是使學生學會數形結合地思考和解決問題的好機會。
向量既是代數的物件，又是幾何的物件，它是溝通代數、幾何及三角函式的橋梁。向量是處理數學及現實問題的有效工具。在本模組中，在向量之後安排三角恒等變換，讓學生經歷用向量工具推導兩角差的余弦公式的過程，其目的就是為了讓學生體會向量的這種作用，並進而使學生體會向量與三角函式的聯絡、數與形的聯絡等。
總之，通過本模組的學習，學生可以從三角函式及其性質與圓及其性質的聯絡、向量與代數、幾何以及三角函式的聯絡、和（差）公式及倍角公式之間的聯絡等，體會不同數學知識在內容與方法上的聯絡性，學習數學中發現問題、提出問題和解決問題的基本方法。
3．發展運算能力和推理能力。
作為代數物件，向量可以進行運算。學生已經熟悉數與式的運算，這裡又將運算發展到向量運算，這是運算的一次飛躍。事實上，向量運算的思想和方法具有很強的遷移能力，例如矩陣運算就是向量運算的推廣。
與代數恒等變換一樣，三角恒等變換也是「隻變其形不變其質」的，變換的目的在於揭示那些形式不同但實質相同的三角函式式的內在聯絡，通過簡化三角函式式的表現形式而認識其本質。在三角恒等變換中，學生可以通過探求和（差）角公式、倍角公式，以及運用這些公式推導和差化積、積化和差、半形公式等的實踐，學習怎樣**變換目標，選擇變換，設計變換途徑等。
由上所述可知，通過本模組的學習，學生可以體會數**算的意義，學習運算、推理的基本思想，他們的運算能力和推理能力將得到提高。
二、編寫中考慮的幾個問題
三角函式與三角恒等變換是高中數學課程的傳統內容，平面向量是2023年進入高中數學課程的內容，因此，本模組的內容屬於「傳統內容」。與以往的教科書相比較，本書在內容、要求以及處理方法上都有新的變化。
1．以基本概念為主幹內容貫穿本書，削枝**，建立合理的教材體系。
「標準」設定的本模組課程學習目標是：
（1）通過例項，學習三角函式及其基本性質，體會三角函式在解決具有週期變化規律的問題中的作用；
（2）了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題，發展運算能力和解決實際問題的能力；
（3）運用向量的方法推導基本的三角恒等變換公式，由此出發匯出其他的三角恒等變換公式，並運用這些公式進行簡單的三角恒等變換。
根據上述學習目標，我們在編寫教科書過程中，特別注意突出主幹內容，強調模型思想、數形結合思想。
「三角函式」一章，突出了三角函式作為描述週期變化的數學模型這一本質。即通過現實世界的週期現象，在學生感受引入三角函式必要性的基礎上，引出三角函式概念，研究三角函式的基本性質，並用三角函式的基礎知識解決一些實際問題。
與傳統的處理方法不同，這裡把三角恒等變換從三角函式中獨立出來，其目的也是為了在三角函式一章中突出「函式作為描述客觀世界變化規律的數學模型」這條主線。
「平面向量」一章，突出強調了向量的工具特性，充分利用向量的物理背景與幾何背景建立向量及其運算的概念，並在這個過程中強調用向量解決實際問題及幾何問題。其中，特別強調了用向量解決幾何問題的基本思想——「三步曲」，從而比較好地體現了數形結合思想。另外，作為乙個應用，用向量方法推導了兩角差的余弦公式。
為了實現削枝**的目標，教科書除了將三角恒等變換獨立成章外，還在具體內容上進行了處理。在三角函式部分刪減了任意角的餘切、正割、餘割，已知三角函式值求角以及符號等內容，任意角、弧度制概念，同角三角函式的基本關係式，週期函式與最小正週期，三角函式的奇偶性等內容都降低了要求。三角恒等變換中，兩角和與差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原來的掌握減弱為能從兩角差的余弦公式匯出。
積化和差、和差化積、半形公式都作為三角恒等變換基本訓練的例題，不要求用積化和差、和差化積、半形公式作複雜的恒等變形。平面向量部分將平面兩點間的距離公式，線段定比分點及中點座標公式，平移公式等內容作為平面向量的應用，也降低了要求。
根據上述考慮，本模組先安排三角函式，再安排平面向量，然後再把三角恒等變換作為平面向量的乙個應用，安排在第3章，緊接著再安排解三角形的內容（放在數學5的第1章）。這樣的教材體系的合理性在於：
（1）以已有的集合與函式、指數函式與對數函式的知識為基礎，三角函式置於其上位概念（即函式）之下，使三角函式的學習有乙個好的「先行組織者」，找到乙個有力的「固著點」。三角函式的學習是一種「逐漸分化」式的學習。
（2）三角函式的學習為平面向量的學習作了必要的準備，因為平面向量的某些內容(向量的數量積)需要用到鈍角的三角函式。
（3）將三角恒等變換安排在平面向量之後，使學生能夠切實感受到平面向量的威力（用向量為工具推導三角變換公式非常簡捷，而用其他方法都比較繁瑣）。另外，由於三角恒等變換與「函式」討論的主題關係較遠，作為平面向量的乙個應用而獨立成章，對三角函式的系統性沒有破壞。
（4）將解三角形的內容安排在平面向量之後，可以使正弦定理、餘弦定理的證明獲得更多途徑，能更好地體現向量的工具性作用。
2．強調聯絡、模擬等思想方法的應用，強調教科書的思想性，加強思維能力的培養。
在討論三角函式及其性質時，經常提醒學生注意用數學1中獲得的一般函式概念及其思想方法作指導。例如，教科書中有這樣的話：
「遇到乙個新的函式，非常自然的是畫出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有沒有特殊點，並借助圖象研究一下它的性質，如：單調性、奇偶性、最大值、最小值等。特別的，三角函式具有『周而復始』的特性到底應當如何描述？
」這段話實際上是提示學生，在思考三角函式性質到底研究的是哪些問題以及應當如何研究時，應當與自己在數學1中建立的關於函式性質的已有經驗聯絡起來，顯然，這對學生把握三角函式基本性質的討論方向是非常有用的。
向量的討論特別注意了與數的模擬，包括向量的線性運算（加、減、數乘）及運算律與數的加減及其運算律的模擬，平面向量的座標表示與數軸上的點表示數的模擬，關於向量數量積的運算律與數的乘法運算律的模擬，等等。這種模擬對於學生學習如何提出問題（應當研究那些問題），怎樣尋找解決問題的突破口，研究問題的過程中應當注意哪些問題等等，都是非常有好處的，通過這樣的過程，學生的思維能力一定可以得到大的提高。
下面以用向量表示幾何元素（點、直線、平面）為例，對本書體現的「思想性」作乙個說明。
用向量表示幾何元素是容易的，並且很直接。選乙個定點，那麼，任何乙個點都可以用乙個向量來表示。對於一條直線l，如果我們的興趣只在於它的方向，那麼用乙個與l平行的（非0）向量a就行了；如果想確定該直線的位置，則還要在l上任選一點。
這樣，乙個點a，乙個向量a就在原則上確定了直線l。這是對直線l的一種定性刻畫。如果想具體地表示l上的每乙個點，我們需要實數k和向量a的乘法ka。
這時，l上的任意一點x都可以通過點a和某個ka來表示（如圖1）。希望在「實際」上控制直線l，可以看作是引入ka的乙個原因。
ak1a x
a ka ba k2b
圖1圖2
現在來看平面。兩條相交直線確定乙個平面p，因而乙個定點，兩個不平行的（非0）向量a，b便在「原則」上確定了平面p。這是對平面的一種定性刻畫。
但在討論幾何問題時，常常涉及平面p上的某一點x，為了具體地表示它，我們需要引入向量的加法a+b。這時，平面p上的點x就可以表示為k1a+k2b（以及定點a），而成為可操縱的物件了（如圖2）。在解決幾何問題時，這種表示能發揮很重要的作用。
雖然向量的加法、數乘向量有非常堅實的物理背景，但當我們捨棄了這種背景而只從純粹數學的角度來看問題的話，上述考慮可使我們看到引進相應的向量運算的理由，這可以使我們更容易接受並喜愛向量運算。
這樣，乙個定點，乙個向量a以及數乘向量ka便給出直線l的「座標系」；而乙個定點，兩個不共線向量a，b，以及數乘向量和向量加法這兩個運算，就給出了平面p的乙個「座標系」。類似的，空間的乙個「座標系」可以由乙個定點，三個不共面的向量，以及數乘向量和向量加法這兩個運算來給出。在這樣的「座標系」中，幾何元素及其關係不但可以得到定性刻畫，而且還能定量地表示。
另外，我們可以根據面臨問題的具體條件，根據解決問題的需要（自由地）選擇「座標系」，並且還可以在同乙個平面上選擇多個「座標系」。
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閱讀鑑賞 第一單元 1 竇娥冤 2 雷雨 3 哈姆萊特 第二單元 4 柳永詞兩首 望海潮 東南形勝 雨霖鈴 寒蟬淒切 5 蘇軾詞兩首 念奴嬌赤壁懷古 定風波 莫聽穿林打葉聲 6 辛棄疾詞兩首 水龍吟登建康賞心亭 永遇樂京口北固亭懷古 7 李清照詞兩首 醉花陰 薄霧濃雲愁永晝 聲聲慢 尋尋覓覓 第三單...