２０１２年２月重慶文理學院學報（自然科學版）
ｆｅｂ．，２０１２第３ｌ卷第１期
群的融合自由積的兩種廣義ｆｒａｔｔｉｎｉ子群
和佩佩，張志讓
（成都資訊工程學院數學學院，四川
成都６１０２２５）
［摘要］ａｚａｒｉａｎ將ｔａｎｇ得到的關於兩個群的帶迴圈融合自由積的ｆｒａｔｔｉｎｉ子群的乙個定理
推廣到任意多個子群的帶迴圈融合自由積的情形．文章首先引入任意群ｇ的兩種廣義ｆｒａｔｔｉｎｉ子群子群和子群，它們分別定義為指數為素數方冪ｐ 的極大正規子群
的交和指數為素數方冪ｐ 的極大特徵子群的交，其中ｐ為任意素數．然後分別從兩個不同角度出發，考慮任意多個子群的帶迴圈融合自由積的子群和子群，得到了
類似的結果，從而推廣了ａｚａｒｉａｎ和郭欽等人的結果．
［關鍵詞子群子群；ｐ ｎ一非生成元；ｐｓｃ一非生成元；群的融合自由積［中圖分類號］０１５２［文獻標誌碼］ａ［文章編號年ｔａｎｇ¨ 得到了關於群的帶迴圈融合明，進一步推廣了郭欽等人的相關結果 ｊ．同樣
自由積的ｆｒａｔｔｉｎｉ子群的定理．當時他考慮的是
地，我們還研究了任意多個子群的帶迴圈融合兩個子群的帶迴圈融合子群的自由積的情形，自由積的子群，也分別從兩個角度出後來ａｚａｒｉａｎｌ２將它推廣到任意多個子群的帶循發證明相應定理．
環融合子群的自由積的情形 ，並在文章的結子群子群以及
尾提出了兩個公開的問題．
群的融合自由積
正面回答．張志讓等人研究了子群群子群以及群的融合自由積的相關
和ｆｒａｔｔｉｎｉ子群．本文首先利用與文獻［４］類概念．
似的方法引入任意群ｇ的另外兩種廣義ｆｒａｔｔｉｎｉ
定義１在群ｇ中，設子群，它們分別定義為指數為素數方冪ｐ 的極ｆｇ：，、，｝是任意素數方冪ｐ ，如果ｎ＜３ｌ ｇ，那
大正規子群的交和指數為素數方冪ｐ 的極大特
麼ｎ＝ｌ或ｌ＝ｇ｝．當ｎｐ≠時，定義ｐ
徵子群的交，其中ｐ為任意素數，並且研究了這當ⅳｐ＝
時，定義ｐ＊ｒｔ
兩種子群的基本性質．然後從群的子
凡ｆｒａｔ（ｇ）稱為ｇ的
群等於其ｐ ｎ一非生成元組成的集合這一特徵子群．
性質出發，研究了任意多個子群的帶迴圈融合定義２在群ｇ中，設自由積的ｐｓ凡ｆｒａｔｔｉｎｉ子群，推廣了ａｚａｒｉａｎ的相
１ｇ ｌ是任意素數方冪ｐ ，如果關定理 ；又從子群是群的所有指
那麼ｋ＝ｌ或ｌ＝ｇ｝．當
≠時，定義ｐ ｃ
數為任意素數方冪ｐ 的極大正規子群的交這一當ｋ ＝
時，定義ｐ ｃ
定義出發，從另一角度給出了該定理的另一證
稱為ｇ的
［收稿日期］２０１１一ｏ６—２０
［**專案］國家自然科學**專案
［作者簡介］和佩佩（１９８５一），女，山西長治人，碩士，主要從事無限群論方面的研究．
［通訊作者］張志讓（１９４６一），男，江蘇宜興人，教授，主要從事無限群論方面的研究２８
子群．由上述兩個定義容易知道：這兩種廣義ｆｒａｔ．
ｔｉｎｉ子群和都是ｇ的特徵子群，並且我們的定義方式與文獻［４］不同，因為這裡的指數ｐ 中的ｐ可以取任意素數．
定義３在群ｇ中，對任意的元素 ∈ｇ，
如果對ｇ的任意滿足下述性質的子集ｓ：＜ｇ 。＞為素數方冪且ｇ＝＜，５＞，總有ｇ＝ｓ。，那麼就稱為ｇ的ｐ ／１，非生成元．
利用與文獻［４］的ｔｈｅｏｒｅｍ １類似的方法容易證明群ｇ的子群等於其ｐ １１，一非生成元組成的集合．
定義４ 在群ｇ中，群ｇ的自同構群記為ａｕｔ（ｇ），對任意的元素 ∈ｇ，如果對ｇ的任意滿足下述性質的子集為素數方冪且ｇ＝＜，ｓ＞舢『，總有ｇ＝ｓａ『，那麼就稱為ｇ的ｐ＇ｃ一非生成元．
利用與文獻［４］的ｔｈｅｏｒｅｍ ２類似的方法容易證明群ｇ的子群等於其ｐｓｃ一非生
成元組成的集合．下面介紹ｎｅｕｍａｎｎ引入的群的融合自由積的概念 ｊ，對於自由積，我們則採用文獻［６］中的記號．
設，為基數大於１的指數集合，ｇ是群，ｓ是ｇ的生成元集合．假設ｓ＝ｕ ，ｓ 為群ｇ的
一些子集５ 的並，對任意
ｒ 是ｇ 的定義關係集合．如果ｒ＝ｌｊｒｒ 是群ｇ的定義關係集合，那麼就稱ｇ為子群簇｛ｇ ｝
的廣義自由積．由於我們事先沒有假設
ｓ 和ｊｓ口是不相交的，因此可以假設ｇ ｎ
＝＝≠１．如果對所有的 ≠盧，都有‰＝１，那麼稱ｇ為子群簇｛ｇ ｝的自由積．如
果假設所有的交都是乙個子群日，即對任意的ｏ／≠盧（ｏｌ，盧∈ｆ）都假設ｇ ｎ
＝ｈ，那麼
稱ｇ為子群簇｛ｇ ｝，的帶子群日的融合自由積，並將ｇ表示為其中對任意的 ∈ｆ，ｔ／，都同構於 ．
２主要結果
下面的關於子群的指數定理將反覆在後面的定理的證明中使用．
引理１設ｇ是群，ｈ≤ｇ，ｋ≤ｇ，那麼
日１．其中ｆｋｈ：ｈｆ為日在
子集ｋｈ中ｈ的左陪集的個數．特別地，如果
ｌｇ：日ｌ有限，那麼 ｌ：ｎ ｋｌ有限，且
ｌｋ：日ｎ ｌ≤ｌｇ：日ｌ，當且僅當ｇ＝ｈｋ時等
號成立．
ａｚａｒｉａｎ＿２得到了任意多個群的帶迴圈融合自由積的ｆｒａｔｔｉｎｉ子群的結果＿２ｊ，下面我們從群ｇ的子群是由群的ｐ 一非生成元組成的特徵子群這一特徵性質出發，將ａｚａｒｉａｎ的這一結果推廣到子群的情形．
定理１設是任意子群
簇｛ｇ ｝帶迴圈子群日的融合自由積．如果ⅳ
≤ｈ且ⅳ ｇ，那麼對任意ｙ ｅ ｆ，都有ｐ 凡凡ｆｒａｔ（ｇ）．
證明任取其中∈ｆ是某一確定的指標．為了證明只需要證明是ｇ的 ｎ一非生成元．
設ｓ是ｇ的任意滿足下述性質的子集：ｌｇ：ｓ。ｌ是任意素數方冪ｐ 且ｇ＝＜，５＞。．由於＜＞是ⅳ的特徵子群，ⅳ ｇ，故＜＞ｇ．因ｊｓ ｎ ｇ
以及ｓｇ，利用引理１
可以得到因為
ｇ ｓ「≤ｇ，
故從而也是素數方冪．另外，ｇ＝＜，
，因為＜＞≤ｇ ，由
ｄｅｄｅｋｉｎｄ模律＿６ｊ，有又因為是ｇ 的ｐ ｎ一非生成元，得從而 ∈ｓ「，因此
ｇ＝ｓ ．即得由的任意性，結論成立．
接下來，我們將從子群是群ｇ的
所有指數為素數方冪ｐ 的極大正規子群的交這
一定義出發得到定理１的另一證明，從而推廣郭欽等人的相關定理 ｊ．
定理１的另一證明任取元素∈ｐ＇ｎ
其中ｙ∈廠是某一確定的指標．為了證明只需要證明包含
在ｇ的任意指數為素數方冪ｐ 的極大正規子群中．由的定義，包含在ｇ 的每一
個指數為素數方冪ｐ 的極大正規子群中．因＜＞是ⅳ的特徵子群，ⅳ ｇ，故＜＞ｇ．任取
ｇ的任意指數為素數方冪ｐ 的極大正規子群 ．如果隹ｍ，那麼ｇ＝＜＞ｍ．因為＜＞≤ｇ 和＜＞ｇ，根據ｄｅｄｅｋｉｎｄ模律，有ｇ ＝ｇ ｎ ｇ
２９由於ｍ＜３ｇ，
由引理１知是素數方
冪．易知隹ｍ ｎ ｇ ，那麼根據ｚｏｒｎ引理 ］，
在ｇ 中可以找到乙個指數為素數方冪ｐ 的正規子群ｋ，使它在滿足性質
ｋ和ｎ ｇ ≤ｋ
的條件下是極大的．如果有ｋ＜
ｇ ，那麼
ｉｇｌ為素數方冪，並且由的極大性得 ∈
ｒ，從而ｔ＝ｇ ．故是ｇ 的指數為素數方冪ｐ 的極大正規子群，但因此∈ｋ．這就與聖ｋ矛盾，從而 ∈ｍ．最後由的任意性可得
同樣地，我們可以將ａｚａｒｉａｎ的相關定理＿２推廣到子群的情形．
定理２設是任意子群簇｛ｇ ｝，帶迴圈子群日的融合自由積．如果ｎ≤ｈ且ⅳ在ｇ中是特徵的，那麼對任意 ∈
，，都有
證明任取其中
∈ｆ是某一確定的指標．為了證明只需要證明是ｇ的ｐｓｃ一非生成元．設ｓ是ｇ的任意滿足下述性質的子集：
是任意素數方冪ｐ 且ｇ＝＜，
５＞舢ｈ
．由於＜ ＞在ⅳ中是特徵的，ⅳ在ｇ中
是特徵的，因此＜＞在ｇ中是特徵的．因為．ｓ ｎｇ
又因「 是群ｇ的正規子
群，利用引理１得：
舢『。：．ｓ『。１．
因ｇ ｓａｕｌ（≤ｇ．故
從而ｌｇ ｓ舢ｆ（ｇｎ ｇ，ｌ也是素數方冪．另外，由
於＜ ＞在ｇ中是特徵的，故有
．因為＜ ＞≤
ｇ 且＜＞ｇ，根據ｄｅｄｅｋｉｎｄ模律，有
＝＜ｇｆ３ ｓ 『
＞ （．
，又因∈ｐｓｃ
ｆｒａｔ（ｇ ），是ｇ 的ｐ ｃ一非生成元，知ｇ ＝ｇ
從而 ∈ｓ 『，因此ｇ＝
ｓ舢ｈ，
即由的任意性，結
論成立．最後，我們從子群是群ｇ的所有指數為素數方冪ｐ 的極大特徵子群的交這３０一
定義出發得到定理２的另一證明，從而推廣了郭欽等人的相關定理 ．
定理２的另一證明
任取ｎⅳ，其中 ∈ｆ是某一確定的指標．為了證明只需要證明包含在ｇ的任意指數為素數方冪ｐ 的極大特徵子群中．由ｐ ｃ
ｆｒａｔ（ｇ ）的定義，包含在ｇ 的任意指數為素數方冪ｐ 的極大特徵子群中．由於＜＞在ⅳ中是特徵的，ⅳ在ｇ中是特徵的，所以＜＞在ｇ中
是特徵的．任取ｇ的任意指數為素數方冪ｐ 的極大特徵子群．如果隹ｍ，那麼ｇ＝
＜＞ｍ．因＜ ＞≤ｇ 且ｍ ｇ，根據ｄｅｄｅｋｉｎｄ模律，有
ｎ ｇ ）．易知，鹺ｍｎ ｇ ，且 ｎ ｇ 在ｇ 中的指數為素數方冪ｐ ，那麼根據ｚｏｒｎ引理，在ｇ 中可以找到乙個指數為素數方冪ｐ 的特徵子
群ｋ，使它在滿足性質 ｎ ｇ ≤ｋ與隹ｋ的條件下是極大的．如果有那麼
ｉｇ：ｌ為素數方冪並且由ｋ的極大性得 ∈ｔ，從而ｔ＝ｇ ．故是ｇ 的指數為素數方冪ｐ 的極大特徵子群，但因此 ∈ｋ，這就與隹ｋ相矛盾，從而 ∈ｍ．由ｍ的任意性可得
［參考文獻］
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義ｆｒａｔｔｉｎｉ予群［ｊ］．數學年刊
７０．ｒｇ
ｏｕｐｓ［ｊ］．西南大學學報：自然科學版
（下轉第３４頁）
但不管怎樣，最大損失原理有理論上的意義，因為它是指數原理ｕ一∞的極限．
報：自然科學版
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［ｍ］．世界圖書出版公司
丹江師範學院學報：自然科學版魏艷華，王丙參，宋立新．合作保險與最佳競爭力［ｊ］．
［３］鄧志民．投資收益下的保費定價模型［ｊ］南開大學學
重慶文理學院學報：自然科學版
ｐａｐｅｒ
，（責任編輯穆剛）
（上接第３０頁）
ｆ責任編輯穆剛）３４
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