宜春中學數學學科2-2冊笫四章定積分的簡單應用導學案編號：40
編寫：丁紅平審核：高二數學理科備課組
學習目標：
1.了解定積分的幾何意義及微積分的基本定理.
2．會利用定積分求簡單幾何體的體積，和曲邊梯形的面積．
3．掌握利用定積分求變速直線運動的路程、變力做功等物理問題。
學習重難點：
重點：定積分的概念及幾何意義，定積分的基本性質及運算的應用
難點；數學模型的建立及被積函式的確定。
學習過程：
1、預習航，要點指津（約3分鐘）
1.用定積分求平面區域的面積
(1)根據已知條件作出區域草圖；
(2)通過圖形判斷或聯立方程組，求出交點座標，確定積分的上、下限；
(3)確定被積函式；
（4)根據圖形寫出平面圖形面積的定積分表示式；
(5)運用微積分基本定理以及定積分性質計算積分，求出面積．
2.（1）設旋轉體是由連續曲線y＝f(x)和直線x＝a，x＝b(a＜b)及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉而成，設在區間[a，b]上點x處垂直x軸的截面面積為a(x)＝πf2(x)，則體積為v＝.
（2）乙個以y軸為中心軸的旋轉體的體積,若求繞y軸旋轉得到的旋轉體的體積，則積分變數變為y，其公式為v＝.
引例1.乙個邊長為的等腰直角三角形如圖所示，繞著軸旋轉一周，求形成的幾何體的體積。
解：（3）簡單旋轉體體積的求解步驟
①畫出旋轉前的平面圖形和旋轉體的圖形；
②確定軸截面圖形的範圍，即求交點座標，確定積分上、下限；
③確定被積函式；
④確定旋轉體體積的表示式(用定積分表示)；
⑤求出定積分，即旋轉體的體積．
3.求變速直線運動的路程和變力做功
物體做變速直線運動的速度v，等於加速度函式a＝a(t)在時間[a，b]上的定積分；物體做變速直線運動經過的位移s，等於其速度函式v＝v(t)在時間區間[a，b]上的定積分．物體在變力下做功w，等於其變力函式f=f(x）在位移區間[a,b]上的定積分。用定積分解決簡單的物理問題時，關鍵是要結合物理學中的相關內容，將物理意義轉化為用定積分解決．
引例2.若某一物體以速度v(t)＝4－t2做直線運動，求它在t＝1到t＝4這段時間內的路程．
解：當1≤t≤2時，v(t)＝4－t2≥0；當2≤t≤4時，v(t)≤0，
∴物體在t＝1到t＝4這段時間內的路程是
引例3.由胡克定律知，把彈簧拉長所需要的力與彈簧的伸長量成正比，現知2 n的力能使乙個彈簧伸長3 cm，試求要把彈簧拉伸0.4 m所做的功．
思路分析：先根據已知條件求出比例係數k，得到變力f(x)與伸長量x的關係式，然後再用定積分求出功w．
自主探索，獨立考（約10分鐘
例1.如圖所示，給定直角邊為a的等腰直角三角形，繞 y軸旋轉一周，求形成的幾何體的體積．
例2.一質點在直線上從時刻t＝0(s)開始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)運動，求點在t＝4 s時的位置及經過的路程．
例3．火車緊急剎車的速度v(t)＝10－t＋m/s，則剎車後行駛的距離約為________m．(精確到0.1 m)
例4.如圖，設d是邊長為l的正方形區域，e是d內函式與所構成(陰影部分)的區域，在d中任取一點,求該點在e中的概率。
例5. 已知曲線通過原點，當時，，又知此曲線與直線所圍成平面圖形的面積是，試確定.使這個平面圖形繞軸旋轉而成的旋轉體的體積最小。
3、小組合作**，疑解惑（約5分鐘）
各學習小組將上面自主探索的結論、解題方法、知識技巧進行討論，交流，議疑解惑。
四、示你的收穫（約8分鐘）
由各學習小組派出代表利用多**或演板或口頭敘述等形式展示個人或小組合作**的結論、解題方法、知識技巧。（即學習成果）
五、重、難、疑點析（約5分鐘）
由教師歸納總結點評
6、達標測（約8分鐘）
1．物本做變速度直線運動經過的路程s，等於其速度函式v = v (t) (v (t)≥0 )在時間區間[a，b]上的即
2．質點直線運動瞬時速度的變化為v (t) = – 3sin t，則 t1 = 3至t2 = 5時間內的位移是只列式子）
3．如果物體沿恒力f (x)相同的方向移動，那麼從位置x = a到x = b變力所做的功w
4．如果物體沿與變力f (x)相同的方向移動，那麼從位置x = a到x = b變力所做的
功w5.在邊長為l的正方形oab c中任取一點p，則點p恰好落在正方形與曲線圍成的區域內(陰影部分)的概率為( )
(a) (b) (cd)
6．一物體在力f (x) =（單位：n）的作用下沿與力f(x)做功為（ ）
a．44jb．46jc．48jd．50j
7．已知彈簧拉長0.02 m，需要98 n的力，則把彈簧拉長到0. 1 m所做的功為( )
a．24.5 j b．23.5 j c．22.5 j d．25.0 j
7、課後練習
1．物體以速度v(t)＝3t2－2t＋3做直線運動，它在t＝0到t＝3這段時間內的位移是( )
a．9 b．18 c．27 d．36
2．物體以速度v(t)＝2－t做直線運動，則它在t＝1到t＝3這段時間的路程為( )
a．0 b．1 c． d．
3．做直線運動的質點在任意位置x處，所受的力f(x)＝1＋ex，則質點沿著與f(x)相同的方向，從點x1＝0處運動到點x2＝1處，力f(x)所做的功是( )
a．1＋e b．e c． d．e－1
4．如果1 n力能拉長彈簧1 cm，為了將彈簧拉長6 cm，所耗費的功為________．
5．質點做直線運動，其速度v(t)＝t2－2t＋1(單位：m/s)．則它在第2秒內所走的路程為________．
6.如右圖，矩形內的陰影部分由曲線及直與軸圍成，向矩形內隨機投擲一點，若落在陰影部分的概率為，則的值為（ ）
a． b． c． d．
7.如圖,在圓心角為直角的扇形oab中,分別以oa,ob為直徑作兩個半圓． 在扇形oab內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率是 （ ）
a． b． c． d．
8.由曲線與直線所圍成的平面圖形(圖中的陰影部分)的面積是
9.已知a、b、x是實數，函式與函式的圖象不相交，記引數a、b所組成的點(a，b)的集合為a,則集合a所表示的平面圖形的面積為______.
10.已知曲線c：和直線：由c與圍成封閉圖形記為m，
(1)求m的面積
(2)若m繞x軸旋轉一周，求由m圍成的體積
11.是火力發電廠煙囪示意圖。它是雙曲線繞其一條對稱軸旋轉一周形成的幾何體。煙囪最細處的直徑為，最下端的直徑為，最細處離地面，煙囪高，試求該煙囪占有空間的大小。 （精確到）
高二化學導學案
4.4金屬的電化學腐蝕與防護 使用說明與學法指導 1 請同學們認真閱讀課本84 87頁，劃出重要知識，規範完成課前預習案內容並記熟基礎知識，用紅筆做好疑難標記 2 及時整理 自我點評，及時完成鞏固練習，改正完善並落實好學案所有內容 3 把學案中自己的疑難問題和易忘 易出錯的知識點以及解題方法規律，及...
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