郎開祿(2023年6月9日)
一基礎數學講什麼？
講已有結果的正確性(對正確的結果認可).
講已有結果的應用(應用正確的結果指導實踐).
講已有結果的源、思想、方法(數學教學的本質是思維的過程,而不是思維的結果,課堂教學要遵循數學教學的本質,凸顯數學思想、數學方法,再現知識生長過程,突出創新意識和創新能力的培養).
二高師院校教學要全方位實施素質教育
全方位實施素質教育是中華民族的頭等大事.
中學為全方位實施素質教育而在艱難困苦的努力.
高師院校教學要全方位實施素質教育.
高師院校教學全方位實施素質教育的關鍵是講義的重新編寫(研究式的講義,專家要寫研究式的講義),課堂教學的改革.
中華民族創新意識和創新能力的培養是中華民族偉大復興的保證.
三研究式數學分析講義編寫初探.
研究式數學分析講義編寫初期工作
研究式數學分析講義基本框架
積分學四個基本公式的背景啟示問題探索
郎開祿(楚雄師範學院數學系雲南楚雄 675000)
摘要:本文從數學實驗的觀點出發,遵循數學教學的本質,沿著背景、啟示、問題、探索的思路,再現了這四個知識點的生長過程.
關鍵詞: 積分學背景啟示探索
數學分析是數學系的基石課之一,該課程教材內容豐富、複雜、抽象、理論性強,教學周期長,習題量大,在大學一年級就開設,教學難度較大.該課程的基礎理論(極限理論)中的主要思想方法(極限思想方法)根本上有別於其它的數學思想方法,其思維方式大學一年級學生難於深刻理解接受,而極限思想方法又貫穿於本課程及後續課程始終.這使數學分析的教學難上加難.
數學分析以培養學生嚴密的邏輯思維能力、較完整的基礎知識理論體系和全新的思想方法體系(極限思想方法體系)、主動進行學習與探索並應用所學數學知識解決實際問題的能力為基本教學目標.
數學分析教學的基本內容是基本固定的,老師的教育教學關鍵在於以教材為本,借助於其它教材、教學參考書籍、文獻、教學研究成果,深入分析教材和處理教材;結合教育教學實際,適當刪去繁雜難內容,把握教材的核心和基本內容;突出教材中的顯現和隱藏的基本思想、基本方法和應用.充分、恰當運用現代的教育技術手段進行輔助教學是提高數學分析教育教學質量的有效途徑.數學教學的本質是思維的過程,而不是思維的結果,課堂教學要遵循數學教學的本質,凸顯數學思想、數學方法,再現知識生長過程,突出創新意識和創新能力的培養.
從背景問題出發,從數學建模的觀點,自然引入數學分析中的重要概念使學生對抽象概念及其理論有深入淺出的理解和掌握,同時培養了學生的數學建模的思想和觀點,激發了學生學習數學的濃厚興趣,進而培養學生創新意識和創新能力是數學分析教育教學的乙個基本要求.
教學以教師引導為主導,以學生學習為主體,它是乙個師生共同提出問題、共同分析問題、共同探索問題、共同解決問題的育人互動過程.這個師生互動過程的主要目標是使學生獲取、積累、積澱基礎知識,培養學生的創新意識、創新能力和良好的思維、道德品質,使學生得到全面發展.這個師生互動過程的方法和手段,即教學方法與教學手段是教師在這個師生互動過程中實現培養目標的橋梁與紐帶,它由教學目標、教學內容、學生實際情況、輔助教學的軟硬體環境等因素所決定.
積分學是數學分析的主體內容之一,公式、公式、公
式、公式是積分學的四個基本公式.微積分的萌芽、發生、發展,經歷了乙個漫長的時期.在這個漫長的時期裡, 、、、、五位著名數學家經過艱苦卓絕的忘我研究,先後獲得了這四個重要公式.
這四個重要公式貫穿於積分學及數學分析後續課程始終始終,不僅它們的應用重要,它們的背景、思想、方法對於培養學生創新意識、創新能力和良好的思維、道德品質更重要.在數學分析教育教學中如何講授在數學分析上下兩冊不同章節**現的這四個重要公式值得**研究.本文從數學實驗的觀點出發,遵循數學教學的本質,沿著背景、啟示、問題、探索的思路,再現了這四個知識點的生長過程.
一.公式
a.背景的啟示
(1).若質點作速度為的變速直線運動,從點運動到點,則質點在時間段的位移為.
(2).若物體運動的路程與時間的關係為,則物體在時刻瞬時速度為.
b.問題的提出
設是在上的原函式, 即,**尋找在上的積分與關係.
c.實驗**
(a).特殊實驗---搜尋目標.
對實驗**.
由定積分的定義,有
.是在上的原函式,且
(獲得目標).
(b).一般實驗---驗證目標.
我們要**與一般地是否具有關係
.由於中值定理揭示了函式在端點處的函式值與在內導數值之間的關係.故可考慮中值定理研究該問題.
對的任乙個分割
,由中值定理,至少存在,使得,.故
因此,若在可積,則.故.
又若在連續,則在上一致連續,故, , ,當,有.
於是任取, ,當時,有,.故當時
.故在區間上可積,且.
於是,我們
(c).實驗成功---鎖定目標.
定理1.若在連續,且,即是在
上的原函式,則
(公式).
二.公式
a.背景問題啟示
公式揭示了的導數在
上積分值與在端點(邊界)處函式值的關係.
b.問題的提出
**尋找的偏導數在有界閉區域(圖1)上積分值與,
在的邊界曲線上積分值的關係.
c.實驗**
圖1圖2
(a).特殊實驗---搜尋目標.
(ⅰ).實驗**1.
在矩形區域(圖2)上實驗**.
實驗1:估算
.實驗結果:.
實驗2:估算
. 實驗結果:.
經以上實驗**,得實驗結果:在矩形區域上有
(獲得目標).
(b).一般實驗---驗證目標.
(ⅱ).實驗**2
在形區域(圖3 )上實驗**.
圖3圖4
實驗:估算..
實驗結果:.
(ⅲ).實驗**3
在單連通區域(圖4 )上實驗**.
將平面單連通區域分劃為有限個型區域,利用實驗**2的**結果進行**.
實驗:估算..
實驗結果:.
(ⅳ) .實驗**4
在復連通區域(圖5 )上實驗**.
將復連通區域搭橋分劃為有限個單連通區域,利用實驗**3的**結果進行**.
圖5實驗:估算
實驗結果:.
同樣在型區域、單連通區域、復連通區域逐一實驗**可得
實驗結果:.
經以上實驗**,得實驗結果:在單連通區域、復連通區域上有
.於是,我們
(c).實驗成功---鎖定目標.
定理2.設以及在光滑或逐段光滑閉曲線所圍的閉區域上連續,則
(公式)
其中取正向.
三.公式
a.問題的啟示
1.公式揭示了的導數在
上積分值與在端點(邊界)處函式值的關係.
2.公式揭示了的偏導數在有界閉區域上積分值與在邊界曲線上積分值的關係.
b.問題的提出
**尋找的偏導數在有界閉區域上積分值與
在的邊界曲面上積分值的關係.
c.實驗**---搜尋目標.
(ⅰ).實驗**1.
在長方體區域(圖6 )上實驗**.
上)後)
左右)下) (前
圖6實驗1:估算..
實驗結果:.
實驗2:估算..
實驗結果:.
實驗3:估算..
實驗結果:.
經以上實驗**,得實驗結果:在長方體區域
上有(獲得目標)
(b).一般實驗---驗證目標.
(ⅱ).實驗**2.
在型區域(是平面上的有界閉區域) (圖7 )上實驗**.
實驗:估算
實驗結果:.
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