高中數學學習材料
馬鳴風蕭蕭*整理製作
江蘇省清江中學2016屆高三考前一周双練衝刺模擬卷（一）
數學試卷
（本試卷共160分，考試時間120分鐘）
一、選擇題：本大題共14個小題,每小題5分,共70分.在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的.
1.已知集合，，則
2.設複數，則複數的虛部是
3.某班50人的一次競賽成績的頻數分布如下：：3人，：16人，：24人，：7人，利用組中可估計本次比賽該班的平均分為
4.下圖中，若輸入的值為-5，則輸出的值為
5.乙個正四稜錐形的工藝品，所有稜長均為1，則該稜錐體積為 .
6.在正六變形的6個頂點中任取3個點恰構成乙個正三角形的概率是
7.已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，是兩曲線的乙個交點，且軸，則雙曲線的離心率是
8.已知正數滿足，則的最小值為
10.設函式（且），若，則實數的值是
11.在鈍角三角形中，記，則實數的值為
12.已知圓，為軸正半軸上的動點，若圓與圓相外切，且它們的內公切線恰好經過座標原點，則圓的方程是
13.設數列的前項和為，若，則的所有可能取值的和為
14.若不等式對任意恆成立，則實數的值為
二、填空題（本大題共6小題，滿分90分，將答案填在答題紙上）
15.（本小題滿分14分）
在中，角的對邊分別為，已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
16. （本小題滿分14分）
如圖，已知平面平面，為矩形，，，是線段的中點，是線段的中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面.
17. （本小題滿分14分）
如圖，圓的半徑為，為圓上的兩個定點，且，為優弧的中點，設（在左側）為優弧上的兩個不同的動點，且，記，四邊形的面積為.
（1）求關於的函式關係；
（2）當為何值時，取得最大值？並求出的最大值.
18. （本小題滿分16分）
如圖，在平面直角座標系中，已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，射線與橢圓的另一交點為，點在橢圓內部，射線與橢圓的另一交點分別為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線的斜率為定值.
19. （本小題滿分16分）
設函式.
（1）當時，對任意的，，求實數的取值範圍；
（2）設在任何長為1的區間上總有兩個數滿足.
證明：的最小值為1.
20. （本小題滿分16分）
設是等差數列，是等比數列，且，，.
（1）求證：，；
（2）對於給定的正整數，試比較與的大小，並說明理由.
數學附加題（一）
（本部分滿分40分，考試時間30分鐘）
21.【選做題】在四個小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分.解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
a.選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）
如圖，已知圓的半徑為9，，弦過點，且，求.
b．選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
已知二階矩陣有特徵值及對應的乙個特徵向量和特徵值及對應的乙個特徵向量，求實數的值.
c．選修4-4：座標系與引數方程（本小題滿分10分）
在平面直角座標系中，，直線（為引數，為合適的常數），曲線，若直線與曲線相交於兩點，求的值.
d．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
設正數滿足，求證：.
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.
22. （本小題滿分10分）
在平面直角座標系中，點和兩個動點，滿足，動點滿足，，設動點的軌跡為.
（1）求的值；
（2）求軌跡的方程；
（3）證明：軌跡的任意兩條互相垂直的切線的交點均在直線上.
23.（本小題滿分10分）
有一種擲骰子移動棋子的遊戲，分為兩方，開始時棋子在方，根據下列①②③的規則移動棋子：①骰子出現1點時，不移動棋子；②骰子出現2，3，4，5點時，把棋子移動對方；③骰子出現6點時，如果棋子在方就不動，如果在方，就移到方，記為骰子擲次後棋子仍在方的概率.
（1）求的值；
（2）求數列的通項公式；
（3）求的最大值和最小值.
參***
一、填空題
1. 解析：因為集合中只有乙個元素3在集合中，所以.
4．4 解析：，.
5． 解析：易得正四稜錐的高為，則體積為.
6． 解析：從6個頂點中任取3個點恰構成乙個三角形共有20種不同方法，其中只有2種可以構成正三角形，故所求概率為.
7． 解析：對於雙曲線，點座標為，對於拋物線，點座標為，所以有，，，，.
8．6 解析：易得，則（當且僅當時取等號）.
9．3 解析：以為座標原點，分別為軸建立平面直角座標系，則的方程為：，的方程為：，聯立方程組解得，則.
10．2 解析：易得，則，而為上的增函式，且，所以實數的值是2.
11． 解析：在鈍角三角形中，可證，則，從而.
12． 解析：設內公切線的方程為，即，因為直線與圓相切，所以到直線的距離，解得.
直線的方程是，令，解得座標，，所以圓的半徑等於3，圓方程是.
13．6 解析：，，
兩式相減得：，即，
在中，令得：，
從而或，故或或，則的所有可能取值的和為6.
14．1 解析：【解法1】顯然，則，而當充分大時，，與題設矛盾，而當時，要使，對恆成立，則關於的方程，，與在內有相同的根，所以，解之得：，（捨去）.
【解法2】（圖象法）設函式，，要使不等式對任意恆成立，則必有，作出兩個函式圖象，則有兩個函式圖象交於點，即是方程的根，則有，解之得：，（捨去）.
二、解答題
15.解：（1）由正弦定理知：，
從而，即，①
由餘弦定理知：，從而，②
由①②得：，解得.
（2）由（1）知，，
因為，且，所以
.16.證明：（1）取線段的中點，鏈結，
∵分別為的中點，∴，且；
又∵是矩形，為中點，
∴，且，
∴，且，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，又平面，平面，∴平面.
（2）設，則，，
對於直角三角形與直角三角形，∵，∴∽，
∴，∵，∴，∴，
∵，為中點，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，平面，∴，
，∴平面.
17．解：（1）設過圓心作的垂線分別與交於點，
易得，①當時，如圖1，
易得，所以
②當時，，
③當時，如圖2，
易得，，
所以綜上得，，.
（2）令，
因為，所以，從而，故，
此時，，
所以當時，，此時.
18．解：（1）易得，且，
解得，，所以橢圓的方程為：.
（2）設，，，，，
則，，，
又設，，其中，
則，代入橢圓並整理得：
，從而有，①
同理可得，，②
①-②得：，
因為，所以，
從而，故.
19．解：（1）當時，，
當時，，即，
記，，則,
故為上的增函式，所以，得；
當時，，即，
記，，則，
故為上的減函式，所以，得，綜上得，.
（2）在區間（）上，必有，即，又，
所以，下證：的最小值為1，
即證在任何長為1的區間上總存在兩個數滿足：
.若，則為上增函式，取，
則，若，則在上為減函式，取，
則，綜上得，，總存在兩個數滿足：.
即證的最小值為1.
20．解：由知等差數列的公差，
設等比數列的公比為，由，得，所以，
因為，所以且.
（1）當時，，
因為且，.
同理，當時，，.
（2）記，
①當時，由①式，得
（ⅰ）時，對任意，總有，，即.
（ⅱ）時，對任意，總有，，即，
綜上，對於任意給定的正整數，都有.
21．解：作過點的直徑，則有：
，，根據相交弦定理得，
∵，∴，
解得，∴.
b．解：，，
即有，且，從而.
c．解：易得直線過，
將，代入，得：，
所以，從而.
d．證明：由柯西不等式得：
，所以.
22．解：（1）由題意得：，
因為，所以.
（2）設動點，則，，，，
因為，，所以，故，
由（1）得軌跡的方程為；
（3）設直線為軌跡的切線，
由，得方程有唯一實數解，
所以，解得，
故直線，同理可得直線，
由，得，即證.
23．解：（1），
骰子擲2次後棋子仍在方有兩種情形：一是骰子擲1次後棋子在方，二是擲一次後棋子在方，故.
（2）骰子擲次後棋子仍在方有兩種情形：一是骰子第次後棋子在方，二是骰子擲第次後棋子在方，故，即，
所以，故數列是首項，公比為的等比數列，所以，
故.（3）當為奇數時，單調遞增，所以，即，
當為偶數時，單調遞增，所以，即.
綜上可知，的最大值和最小值分別為和.
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