數學（文科）
本試卷分第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.
注意事項:
1．答卷前,考生要務必填寫答題卷上的有關專案．
2．選擇題每小題選出答案後,用2b鉛筆把答案塗在答題卷相應的位置上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內；如需改動,先劃掉原來的答案,然後再寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液,不按以上要求作答的答案無效．
4．請考生保持答題卷的整潔.考試結束後,將答題卷交回.
第ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1．若複數滿足,則在復平面內,所對應的點在( )
a．第一象限 b．第二象限c．第三象限 d．第四象限
2．已知,函式的定義域為,集合,則( )
abcd．
3．在等差數列中,,,則的前項和( )
abcd．
4．曲線:在點處的切線方程為( )
abc． d．
5．設變數滿足,則的最大值為( )
abcd．
6．已知的影象向右平移個單位後得到函式的影象,則「函式的影象關於點中心對稱」是「 」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件 c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
7．已知函式,,則的值為( )
ab． c． d．
8．已知,則( )
abcd．
9．若圖1的框圖所給的程式執行結果為,那麼判斷框中應填入的關於的條件是( )
ab．？ cd．？
10．某一簡單幾何體的三檢視如圖2所示,該幾何體的外接球的表面積是( )
abcd.
11. 已知,分別是雙曲線:()的左右兩個焦點,若在雙曲線上存在點使,且滿足,那麼雙曲線的離心率為( )
abcd.
12．若函式存在正的零點,則實數的取值範圍為( )
abc. d.
第ⅱ卷(非選擇題共90分)
本卷包括必考題和選考題兩部分.第13～21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22～24為選考題,考生根據要求作答.
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,滿分20分.
13．從某班位老師中隨機選兩位老師值班,有女老師被選中的概率為,則在這位老師中,女老師有_______人.
14．在△中,、、的對邊分別是,且是的等差中項,則的大小為_______.
15．拋物線:上到直線:距離為的點的個數為________.
16．在等腰直角△中,,,、為邊上兩個動點,且滿足,則的取值範圍為________.
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17．(本小題滿分12分)
已知數列的前項和為,且滿足().
(ⅰ) 求證:數列為等比數列；
(ⅱ) 若,求的前項和.
18．(本小題滿分12分)
某射擊愛好者想提高自己的射擊水平,制訂了乙個訓練計畫,為了了解訓練效果,執行訓練計畫前射擊了發子彈(每發滿分為環),計算出成績中位數為環,總成績為環,成績標準差為環,執行訓練計畫後也射擊了發子彈,射擊成績莖葉圖如圖3所示:
(ⅰ) 請計算該射擊愛好者執行訓練計畫後射擊成績的中位數、總成績與標準差；
(ⅱ) 如果僅從已知的前後兩次射擊的資料分析,你認為訓練計畫對該射擊愛好
者射擊水平的提高有無幫助？為什麼？
19．(本小題滿分12分)
如圖4,三稜柱中,側面側面,,,
,為稜的中點,為的中點.
(ⅰ) 求證:平面；
(ⅱ) 若,求三稜柱的體積.
20．(本小題滿分12分)
已知橢圓的中心在原點，焦距為，且長軸長是短軸長的倍.
(ⅰ) 求橢圓的標準方程；
(ⅱ) 設,過橢圓左焦點的直線交於、兩點,若對滿足條件的任意直線,不等式()恆成立,求的最小值.
21．(本小題滿分12分)
設常數,函式.
(ⅰ) 當時,求的最小值；
(ⅱ) 求證：有唯一的極值點.
請考生在第22,23,24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,作答時請寫清楚題號.
22．(本小題滿分10分)選修:幾何證明選講
如圖5,四邊形是圓內接四邊形,、的延長線交於點,且,.
(ⅰ) 求證:；
(ⅱ) 當,時,求的長.
23．(本小題滿分10分)選修:座標系與引數方程選講
已知直線的方程為,圓的引數方程為(為引數),以原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極座標系.
(ⅰ) 求直線與圓的交點的極座標；
(ⅱ) 若為圓上的動點,求到直線的距離的最大值.
24.(本小題滿分10分)選修:不等式選講
已知函式,,其中.
(ⅰ) 解不等式；
(ⅱ) 任意,恆成立,求的取值範圍.
數學（文科）參***
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,滿分20分.
13141616.
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17.【解析】(ⅰ)當時,,解得；……………………1分
當時,,,兩式相減得,…………………3分
化簡得,所以數列是首項為,公比為的等比數列.…………………5分
(ⅱ)由(ⅰ)可得,所以,下提供三種求和方法供參考: ……6分
[錯位相減法]
8分兩式相減得 …………………9分
10分11分
所以數列的前項和.…………………12分
[併項求和法]
當為偶數時9分
當為奇數時,為偶數,；……………11分
綜上,數列的前項和.…………………12分
[裂項相消法]
因為……………9分
所以所以數列的前項和.…………………12分
18.【解析】(ⅰ)訓練後成績中位數為:環1分
總成績為:環 ……3分
平均成績為:環4分
方差為:,……6分
標準差為:環7分
(ⅱ)[答案一]因為,95.1>94.9,
中位數與總成績訓練前都比訓練後大,而這是衡量乙個人平均射擊水平的主要指標,……9分
可見訓練前的平均水平還比訓練後的平均水平要好11分
故此訓練計畫對該射擊愛好者射擊水平的提高沒有幫助12分
[答案二]儘管中位數與總成績訓練後都比訓練前稍小,但相差並不大,並無顯著差異, ………9分
而,訓練後的標準差比訓練前的標準差要小很多,成績穩定性顯著提高了,說明該射擊愛好者心理素質更穩定了,這也是射擊水平提高的表現11分
故此訓練計畫對該射擊愛好者射擊水平的提高有幫助12分
19.【解析】(ⅰ)鏈結,因為為正三角形,為稜的中點,
所以,從而,又麵麵,
面面,面,
所以面,又面,所以…①,……2分
設,由,所以,,
,又,所以～,
所以,又,
所以,設,則5分
由①②及,可得平面.…………………6分
(ⅱ)方法一:取中點,鏈結,則,所以面.…………7分
所以,…………………10分
所以三稜柱的體積為.…………………12分
方法二:取中點,鏈結,因為為正三角形,所以,
因為面面,面面,面,
,所以面,又面,所以,
又,所以平面,所以為三稜柱的高,……9分
經計算,,………………11分
所以三稜柱的體積.………………12分
20.【解析】(ⅰ)依題意1分
解得,,所以橢圓的標準方程為.…………………3分
(ⅱ)設,所以,
當直線垂直於軸時,,且,此時,,
所以.…………………6分
當直線不垂直於軸時,設直線:,
由,消去整理得,
所以,,…………………8分
所以.………11分
要使不等式()恆成立,只需,即的最小值為.……12分
21.【解析2分
當時, ……………4分
由於時,,
故當時,,遞減,當時,,遞增,
即當時,取極小值即最小值.……………………6分
(ⅱ)由(ⅰ)知,令,
要證有唯一的極值點,即證在上有唯一的變號零點.…………………7分
事實上,,
令,解得,.…………………9分
其中,.因為,且的影象是開口向上的拋物線,
故在區間上,,遞減,所以,
在區間上,,遞增,
因為,所以,
所以,即在上有唯一零點.
即在上有唯一的極值點,且為極小值點.……12分
22.【解析】(ⅰ)因為四邊形是圓內接四邊形,
所以,…………1分
又,所以,,…3分
而,所以,又,所以.……………5分
(ⅱ)依題意,設,由割線定理得,……………7分
即,解得,即的長為.……………10分
23.【解析】(ⅰ)直線:,圓1分
聯立方程組,解得或,……………………3分
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