數學（理科）試題
本試卷共4頁，21題，滿分150分，測試用時120分鐘．
參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高．
如果事件、互斥，那麼．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
⒈若全集，集合，，，則
ab．cd．⒉複數（是虛數單位）的虛部是
abcd．
⒊函式（）的圖象在
a．一、三象限 b．二、四象限
c．一、二象限 d．三、四象限
⒋已知（）為等差數列，其公差為，且是與的等比中項，則的首項
abcd．
⒌已知命題：「，且」，命題：「」。則命題是命題的
a．必要不充分條件 b．充分不必要條件
c．充要條件d．既不充分與不必要條件
⒍如圖1，正方體中，、是的
三等分點，、是的三等分點，、分別是、
的中點，則四稜錐的側檢視為
（注：只有選項c「一項是符合題目要求的」，選項a和d
是重複錯誤）
⒎將一顆質地均勻的骰子（它是一種各面上分別標有點數1、2、3、4、5、6的正方體玩具）先後拋擲2次，記第一次出現的點數為，記第二次出現的點數為，向量，，則和共線的概率為
abcd．
⒏定義、、、的運算結果分別對應下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那麼下圖中的(m)、(n)所對應的運算結果可能是
(1234m) (n)
a．、 b．、 c．、 d．、
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
(一)必做題（9～13題）
⒑已知，，若，，若，則實數和滿足的乙個關係式是 ，的最小值為 ．
⒒在中，若，，，
則 ．
⒓已知點和圓：，
從點發出的一束光線經過軸反射到圓周
的最短路程是
⒔如圖2所示的程式框圖，其輸出結果
為(二)選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）
⒕（幾何證明選講選做題）如圖3，圓是的
外接圓，過點的切線交的延長線於點，
，，則 ．
⒖（座標系與引數方程選做題）已知在極座標系下，點，，是極點，則的面積等於 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
⒗（本小題滿分12分）
已知函式（其中，）的最大值為2，直線、是圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為．
⑴求，的值；
⑵若，求的值．
⒘（本小題滿分14分）
為了解今年某校高三畢業班準備報考飛行員學生的體重（單位：千克）情況，將所得的資料整理後，畫出了頻率分布直方圖（如圖4），已知圖中從左到右的前個小組的頻率之比為1∶2∶3，其中第2小組的頻數為12。
⑴求該校報考飛行員的總人數；
⑵以這所學校的樣本資料來估計全省的總體
資料，若從全省報考飛行員的同學中任選三人，
設x表示體重超過60千克的學生人數，求x的
分布列和數學期望。
⒙（本小題滿分14分）
如圖5，長方體中，底面
是正方形，，是上的一點．
⑴求證：；
⑵若平面，求三稜錐的體積；
⑶在⑵的條件下，求二面角的平面角的
余弦值．
⒚（本小題滿分12分）
設雙曲線的漸近線為，焦點在軸上且實軸長為1．若曲線上的點到雙曲線的兩個焦點的距離之和等於，並且曲線：（是常數）的焦點在曲線上。
⑴求滿足條件的曲線和曲線的方程；
⑵過點的直線交曲線於點、（在軸左側），若，求直線的傾斜角。
⒛（本小題滿分14分）
、是方程的兩根，數列是遞增的等差數列，數列的前項和為，且（）．
⑴求數列，的通項公式；
⑵記，求數列的前項和．
21（本小題滿分14分）（注：本題第⑵⑶兩問只需要解答一問，兩問都答只計第⑵問得分）
已知函式是奇函式，且影象在點處的切線斜率為3（為自然對數的底數）．
⑴求實數、的值；
⑵若，且對任意恆成立，求的最大值；
⑶當（，）時，證明：．
理科數學評分參考
一、選擇題 cdad acbb
二、填空題3分），（2分） ⒒
三、解答題（以下解答供參考，等價或有效解答都要相應給分）
⒗解：⑴……2分，
……3分所以……4分，
解得……5分， 因為，所以……6分
⑵……7分， 由得……8分，
（或設，則，，從而）……10分
…11分12分．
⒘解：⑴設報考飛行員的人數為,前三小組的頻率分別為、、，則
……3分， 解得……4分
因為……3分所以……6分
⑵由(1)可得,乙個報考學生體重超過60公斤的概率為
……8分所以……9分
所以，，1，2，3……11分
隨機變數的分布列為：
……13分
則(或：) ……14分
⒙證明與求解：（方法一）⑴連線，則……1分，
因為面，所以，……2分，
因為，所以平面……3分，所以……4分。
⑵連線，與⑴類似可知……6分，
從而，……7分，所以……8分
⑶設，，，連線，
則……9分是二面角的平面角……10分，
由等面積關係知……11分，……12分，由⑵知，……13分，……14分。
（方法二）以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角座標系……1分。
⑴依題意，，，，……3分，
所以，……4分，
所以，，……5分。
⑵設，則……6分，因為平面，
平面，所以……7分，所以，所以，
……8分，所以……9分
⑶平面的乙個法向量為……10分，平面的乙個法向量為……12分，由圖知，二面角的平面角的余弦值為……14分。
⒚解：⑴雙曲線滿足：……1分解得……2分
則，於是曲線的焦點、……3分，
曲線是以、為焦點的橢圓，設其方程為……4分，
解得，即：……5分，
依題意，曲線的焦點為……6分，
於是，所以，曲線……7分
⑵由條件可設直線的方程為……8分，
由得，，由求根公式得：，……9分，
由得……10分，於是，解得……11分，由圖知，，直線的傾斜角為……12分
⒛解：⑴解得，，
因為是遞增，所以，……2分，
解……3分，得，所以……4分
在中，令得，……5分，
當時，，，兩式相減得……6分
，是等比數列……7分，所以……8分
⑵……9分
……10分
……11分
兩式相減得：……13分
，所以……14分
21解：⑴是奇函式，所以，即
……2分，所以，從而……3分，此時，……4分，
依題意，所以……5分
⑵當時，設，則……6分
設，則，在上是增函式……8分
因為，，所以，使……10分，時，，，即在上為減函式；同理在上為增函式……12分，
從而的最小值為……13分
所以，的最大值為……14分。
⑶要證，即要證……6分，
即證，……8分，
設，……9分，則……10分
設，則……11分，在上為增函式……12分，
，，從而，在上為增函式……13分，
因為，所以，，所以……14分
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