剪下波的構造
shearlet是一類新的多尺度幾何分析方法，該方法通過對基本函式的膨脹、剪下和平移變換來構造，體現了函式的幾何和數學特性，如近幾年來許多領域的研究學者所強調的函式的方向性、尺度和振盪等。shearlet可以在廣義多解析度分析的框架中研究，這樣就可以獲得像小波一樣的迭代演算法，並推廣到經典的級聯演算法。因此shearlet變換作為一種新型的多尺度幾何分析工具為影象處理領域的研究人員所廣泛接受。
1、 shearlet及其變換的定義
函式f(x)的連續shearlet變換為：
1.1）
其中，1.2）
為剪下波函式，為尺度引數，為剪下引數，為平移引數，是各向異性膨脹矩陣，是剪下矩陣。
對任何，令滿足
1.3）
其中，為的傅利葉變換，為連續小波函式，，，為bump函式，，，在區間上且。由以上定義可得的傅利葉變換為
顯然，剪下波的幾何性質在頻域上更為直觀。由和的支撐條件很容易看到有如下的頻域支撐：
由上式可知，在不同尺度，支撐在以原點對稱、以s為斜率的梯形對上；改變剪下引數s， 支撐區域可獲得保持面積不變的旋轉；旋轉區域由尺度引數a控制，隨著a→0，支撐區間逐漸變窄。
圖1.1給出了時的頻域支撐。
圖1.1 不同a和s值時的頻域支撐
連續剪下波變換的平移引數可檢測到所有奇異點的位置，而剪下引數則可顯示出奇異曲線的方向。
2、 shearlet的離散化
為了實現剪下波的離散化，令尺度引數，剪下引數，以及平移引數。假定
2.1）
和2.2）
由式（2.1）和式（2.2）可知：對任何，有
其中，，如圖2.1（a）所示，即函式形成的乙個剖分，如圖2.1（b）所示。
由以上的討論，可知集合
是得乙個緊框架。其中，
， 由圖2.1（b）可以看出，剪下波的每個元素支撐在梯形對上，每乙個梯形包含在乙個大小近似為的盒子裡，方向沿著斜率為的直線。
圖2.1（a）水平錐和垂直錐b） 剪下波的頻域剖分圖
同樣可以構造乙個的緊框架，其中，是垂直錐。由下式給定
2.3）
則集合是的乙個緊框架。其中，，。最後，令滿足：對任何，有
上式暗含，且=1。因此剪下波集合為
3、剪下波的主要性質
從上述可以看出，剪下波具有以下良好特性：
（1）剪下波具有非常好的區域性化特性。在上述剪下波的構造中，剪下波在頻域內是緊支撐的，並且在空域內具有快速的衰減特性。
（2）剪下波滿足拋物線尺度化特性。每乙個元素支撐在乙個梯形對上，且每個梯形對包含在乙個大小近似為的盒子內，如圖2.1（b）所示。
這是因為剪下波具有非常好的區域性化特性，在空域內每個本質上支撐在乙個大小為的盒子裡面。當時，元素的支撐區間會逐漸變窄。
（3）剪下波體現了非常高的方向敏感性。元素的方向是沿著斜率為的直線。相應的元素的方向是沿著斜率為的直線，並且方向的數目隨著尺度的不斷細化而逐層加倍。
（4）剪下波是空域區域性化的。對任意固定的尺度和方向，剪下波可以通過在格上平移來獲得。
（5）剪下波具有接近最優的稀疏表示效能。
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