高三數學（供理科考生使用）
本試卷分第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分，其中第ii卷第（22）題～第（24）題為選考題，其它題為必考題．第ii卷2至5頁．考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回．
第ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑．
（1）已知集合，，則
（a） （b） （c） （d）
（2）已知則等於
（a） （b） （c） （d）
（3）設是空間三條直線，是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不正確的是
（a）當時，若，則
（b）當時，若，則
（c）當且是在內的射影時，若，則
（d）當且時，若，則
（4）設雙曲線的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等於
（a） （b） （c） （d）
（5）已知是定義在r上的函式，對任意都有，若函式的圖象關於直線對稱，且，則等於
（a）2 （b）3 （c）-2 （d）-3
（6）已知平面內一點滿足，若實數滿足：，則的值為
（a）6 （b）3 （c）2 （d）
（7）定義在上的函式滿足，，任意的，都有是的
（a）充分不必要條件 （b）必要不充分條件
（c）充分必要條件 （d）既不充分也不必要條件
（8）乙個稜錐的三檢視如圖（尺寸的長度單位為m），則該稜錐的全面積是（單位：m2）．
正檢視側檢視俯檢視
（a） （b） （c） （d）
（9）已知中，角a、b、c的對邊分別是a、b、c，且，則等於
（a） （b） （c）2 （d）
（10）關於的不等式有且只有三個整數解，則實數的取值範圍是
（a） （b） （c） （d）
（11）從點出發的三條射線兩兩成角，且分別與球相切於三點，若球的體積為，則兩點之間的距離為
（a） （b） （c） （d）2
（12）已知集合集合，則的概率為
（a） （b） （c） （d）
第ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第（13）題~第（21）題為必考題，每個試題考生都必須做答．第（22）題～第（24）題為選考題，考生根據要求做答．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題卡相應的位置．
（13）函式的圖象按向量平移後，得到函式的圖象，則的值是_______；
（14）給出下列四個命題：
①；②，使得成立；
③在中，若,則是銳角三角形.
④已知長方體的長、寬、高分別為對角線長為，則；
其中正確命題的序號是_______；
（15）已知雙曲線左、右焦點分別為，過點作與軸垂直的直線與雙曲線乙個交點為，且，則雙曲線的漸近線方程為_______；
（16）函式若關於的方程有五個不同的實數解，則的取值範圍是_______．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區域內作答，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
（17）（本小題滿分12分）
在△abc中，角a、b、c所對的邊分別為a、b、c， q=（，1），p=（，）且．求：
（i）求sin a的值；
（ii）求三角函式式的取值範圍．
（18）（本小題滿分12分）
已知在四稜錐p-abcd中，底面abcd是邊長為4的正方形，△pad是正三角形，平面pad⊥平面abcd，e、f、g分別是pa、pb、bc的中點．
（i）求證：ef平面pad；
（ii）求平面efg與平面abcd所成銳二面角的大小；
（iii）若m為線段ab上靠近a的乙個動點，問當am長度等於多少時，直線mf與平面efg所成角的正弦值等於？
（19）（本小題滿分12分）
已知各項都是正數的等比數列，滿足
（i）證明數列是等差數列；
（ii）若，當時， 不等式對的正整數恆成立，求的取值範圍.
（20）（本小題滿分12分）
已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（i）求橢圓的方程；
（ii）若過點(2，0)的直線與橢圓相交於兩點，設為橢圓上一點，且滿足（為座標原點），當＜時，求實數取值範圍．
（21）（本小題滿分12分）
已知函式.
（i） 若，且存在單調遞減區間，求的取值範圍；
（ii）若函式的影象與軸交於a，b兩點，線段ab中點的橫座標為，證明：．
請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多答，則按做的第一題記分．作答時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號右側的方框塗黑．
（23）（本小題滿分10分）選修4－4：座標系與引數方程
已知直線c1： (t為引數)，圓c2： (θ為引數)．
（i）當α＝時，求c1與c2的交點座標；
（ii）過座標原點o作c1的垂線，垂足為a，p為oa的中點．當α變化時，求p點軌跡的引數方程，並指出它是什麼曲線．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．
（17）（本小題滿分12分）
解：（i2分）
根據正弦定理，得，
又4分）
，，，又；sina6分）
（ii）原式，
8分）10分）
∵，∴，∴，
∴，∴的值域是12分）
（18）（本小題滿分12分）
方法1：（i）證明：∵平面pad⊥平面abcd，，
∴平面pad2分）
∵e、f為pa、pb的中點，
∴ef//ab，∴ef平面pad4分）
（ii）解：過p作ad的垂線，垂足為o，
∵，則po平面abcd．
連og，以og，od，op為x、y、z軸建立空間座標系，
6分）∵pa=pd，∴，
得，，故，
設平面efg的乙個法向量為則，
7分）平面abcd的乙個法向量為
平面efg與平面abcd所成銳二面角的余弦值是：
，銳二面角的大小是8分）
（ii）解：，
設平面efg的乙個法向量為
則，，…………（7分）
平面abcd的乙個法向量為……【以下同方法1】
方法3：（i）證明：∵平面pad⊥平面abcd，，
∴平面pad2分）
∵e、f為pa、pb的中點，
∴ef//ab，∴ef平面pad4分）
（ii）解：∵ ef//hg，ab//hg，∴hg是所二面角的稜，
6分）∵hg // ef，∴平面pad， ∴dhhg，ehhg ，
∴eha是銳二面角的平面角，等於8分）
（iii）解：過m作mk⊥平面efg於k，鏈結kf，
則kfm即為mf與平面efg所成角10分）
因為ab//ef，故ab/平面efg，故ab/的點m到平面efg的距離等於a到平面efg的距離，∵平面pad，∴平面efgh平面pbd於eh，
∴a到平面efg的距離即三角形eha的高,等於，即mk，
∴，，在直角梯形中，，
∴或∵m靠近a11分）
∴當時， mf與平面efg所成角正弦值等於．…………（12分）
（ii）由（ⅰ）設的公差為，知，，，
令，則，
．…………（8分）
∴函式單調遞增， 當時，．
∴，即10分）
，，．而，∴的取值範圍是12分）
（ⅱ）由題意知直線的斜率存在.
設：，，，，
由得.6分）
，.∵，∴，，
.∵點在橢圓上，∴，
8分）∵＜，∴，∴
（21）（本小題滿分12分）
解：（i）當時，
則2分）
因為函式存在單調遞減區間，所以<0有解.
又因為x>0時，則ax2+2x－1>0有x>0的解.
①當a>0時，y=ax2+2x－1為開口向上的拋物線，ax2+2x－1>0總有x>0的解；
②當a<0時，y=ax2+2x－1為開口向下的拋物線，若ax2+2x－1>0總有x>0的解；
則需△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此時，－1 綜上所述，a的取值範圍為（－1，0）∪（05分）
（ii） 設點a,b的座標分別是（x1, 0），（x2, 0），0 則點ab的中點橫座標為
則7分）
9分） 設則
令則因為時，，所以在）上單調遞減. 故
而. 故12分）
（23）（本小題滿分10分）選修4—4：座標系與引數方程
解：（i）當α＝時，c1的普通方程為y＝(x－1)，c2的普通方程為x2＋y2＝1.
聯立方程組解得c1與c2的交點為(1,05分）
（ii）c1的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0.
a點座標為(sin2α，－cosαsinα)，
故當α變化時，p點軌跡的引數方程為
(α為引數)． p點軌跡的普通方程為(x－)2＋y2＝.
故p點軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓10分）
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