在上一講中我們著重講了在許多問題中算術方法是不可缺少的；在這一講中，我們將通過一些例子看到代數方法不可取代的巨大優越性和強大威力，同時說明一元一次方程，多元一次方程組，不定方程的一般解法。
例1 乙個學生做25道數學題，對一題得4分，不答不給分，答錯一題倒扣1分.他有3道題未做，得了73分.問他共答對了幾道題？
解：設對了x道題，則答錯25－3－x道題.
依題意列方程：
4x－（25－3－x）=73
4x－22+x=73
5x＝95
x＝19.
答：這個學生答對了19道題.
例2 某水池裝有甲、乙兩個注水管，單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小時注滿.現在要求10小時注滿水池，並且甲、乙兩管合開的時間盡可能少，那麼甲、乙兩管最少需要合放多少小時？
解：分析一下，由於要求甲、乙兩管合放的時間盡可能少，所以必須讓注水快的甲管在10個小時中全開著.其餘的由乙管補足.
設甲、乙兩管最少需合放x小時，則：
=4答：甲、乙兩管最少需要合放4小時.
例3 甲、乙兩隊學生參加郊區夏令營，但只有一輛車接送，坐不下.甲隊學生坐車從學校出發的同時，乙隊學生開始步行.車到途中某處讓甲隊學生下車步行，車立即返回接乙班學生並直開到夏令營，兩班學生正好同時到達.
已知學生步行速度為4千公尺/小時，汽車載學生時速度為40千公尺/小時，空車時速度為50千公尺/小時，問甲班學生應步行全程的幾分之幾？
解：如圖：
設全程為x千公尺，甲、乙兩隊分別步行a、b千公尺.要使兩隊學生同時到達夏令營，只有他們兩隊步行的路程相等才行，故a=b.
等量關係是：乙隊走a千公尺路程的時間正好等於汽車送完甲隊又原路返回時遇到乙隊的時間，即：
∴答：甲隊步行了全程的。
例4 乙個矩形長33厘公尺，寬32厘公尺，用正方形如下圖分割，已知最小正方形邊長為1厘公尺，第二個小正方形邊長為4厘公尺，請在圖中填出其餘正方形的邊長.
解：設如圖中第③個小正方形邊長為x，則其餘每個正方形的邊長都可以用x的代數式表達出來，如圖所示.
再由大長方形的長為33厘公尺可得關係式：
2x＋1+x+11=33
3x=21
x=7（厘公尺）.
於是圖中所有正方形的邊長均可將x＝7代入，得如圖所填的值.
還可以用大正方形的寬為32厘公尺來驗證所求值的正確性：
2x+1+x+1+x+2=15+8+9=32（厘公尺）.
例5 小明每天定時從家到學校，若小明每分鐘走30公尺，則遲到3分鐘；若小明每分鐘走40公尺，則早到5分鐘.求小明家到學校的距離.
解：設小明家到學校的距離為s公尺，則
去分母，方程兩邊同乘以120：
4s－360=3s＋600
s=960
答：小明家離學校960公尺.
有的問題必須用兩個或更多的未知數才能列出方程，而且方程的個數也往往不只乙個，我們稱含有兩個未知數並且未知數所在項的次數都是1次的這種方程為二元一次方程.
例如x+y=5.
適合這個二元一次方程的每一對未知數的值叫做二元一次方程的乙個解.如：方程x+y=5的正整數解有：
x=1，y=4；x=2，y=3；x＝3，y=2，x=4，y=1這四個解.
如果乙個問題的兩個未知數必須滿足兩個二元一次方程，這兩個方程聯立在一起就叫做二元一次方程組.同時適合這兩個二元一次方程的每一對未知數的值叫做這個二元一次方程組的乙個解.
多個未知數的方程組也可以類似地定義，解法也類似，在這裡舉兩個最簡單的例子來介紹二元一次方程組的解法.常用的有代入消元法和加減消元法.總之都是先設法消去乙個未知數.
①代入消元法：
例6 解二元一次方程組
把（2）中的y用（1）中的3x代替，就可以消去乙個未知數y，得：
x＋3x=8
4x=8
x=2.
再把x=2的值代入（1）或（2），得：y=6.
∴這個方程組的解為
②加減消元法：
例7 解方程組
（2）－（1）得：6x=54
x＝9.
將x=9代入（1）或（2）得：
∴原方程組的解為
再看幾個二元一次方程組的例子.
例8 一條路從甲地到乙地是下坡，從乙地到丙地是平路，一人騎車以每小時12千公尺的速度下坡，而以每小時9千公尺的速度通過平路到達丙地，共用了55分鐘；回來時以每小時8千公尺的速度行至乙地，又以每小時4千公尺的速度行到甲地，共用了1.5小時.問從甲地到丙地共有多少千公尺？
解：設從甲地到乙地為x千公尺，從乙地到丙地為y千公尺，依題意可得下列方程組：
去分母，兩端同乘以兩個方程的分母的最小公倍數。
（1）兩端同乘以36得：
3x+4y=33.
（2）兩端同乘以8得：
y+2x=12.
∴原方程組與下面方程組同解.
由（4）得y=12－2x，代入（3）消去y得：
3x+4（12－2x）=33
3x+48－8x＝33
5x=15
x=3.
將x=3代入（4）得：
y＝12－2×3
y＝6.
∴原方程組的解為
x+y=9.
答：從甲地到丙地共9千公尺.
例9 有甲、乙兩個桶，甲桶裡裝了一些水，乙桶裡裝了一種純農藥，按下面方法來調配農藥溶液：第一次甲桶倒進乙桶裡的水的數量與原來乙桶中農藥數量相同，調勻；第二次把乙桶裡的農藥溶液倒進甲桶裡，倒回的數量與甲桶裡剩的水的數量相同，調勻；第三次再把甲桶中的農藥溶液倒回乙桶，數量與此時乙桶中的溶液數量相同，這時兩個桶中的農藥溶液數量相同.請你算一算：
①開始時水與純農藥的比.
②最後在甲桶裡的水與純農藥的比.
③最後在乙桶裡的水與純農藥的比.
解：設甲桶裡原有x千克水，乙桶裡有y千克純農藥.
每次倒動後甲、乙兩桶中溶液的總量變化如下：
第一次甲桶剩x－y（千克）
乙桶有：2y（千克）
第二次甲桶有 2（x－y）（千克）
乙桶剩 2y－（x－y）=3y－x（千克）
第三次甲桶剩2（x－y）－（3y－x）=3x－5y（千克）
乙桶有2（3y－x）（千克）.
①∵第三次倒完後兩桶中液體重量相同
∴3x－5y＝2（3y－x）
3x－5y=6y－2x
5x＝11y
∴ x∶y=11∶5.
②∵在第一次操作後甲桶中的x－y千克都為水.由乙桶倒入的x－y千克溶液中有一半是水，另一半是純農藥，故甲桶中最後水與純農藥的比為3∶1。
③又∵ 在第二次操作後乙桶裡有溶液3y－x千克，其中的（3y－x）千克是水，（3y－x）千克是純農藥。在後來從甲桶倒入的液體中，有(3y－x)千克是水，有(3y－x)千克是農藥。故乙桶最後含水量與純農藥的比為：
答：開始時水與純農藥的比為11∶5.
最後甲桶溶液中水與純農藥的比為3∶1.
而乙桶溶液中水與純農藥的比為5∶3。
習題十 1，解下列方程組：
2，有甲、乙兩個瓶子，甲瓶裡裝了200毫公升清水，乙瓶裡裝了200毫公升純酒精，第一次把20毫公升的純酒精由乙瓶倒入甲瓶；第二次把甲瓶中的溶液又倒20毫公升回乙瓶.問此時甲瓶裡含純酒精多，還是乙瓶裡含的水多？
3，鐘面上從5點到6點分針與時針什麼時間重合？什麼時間成一直線但不重合？什麼時間成一直角？
4，甲、乙、丙、丁四名學生共有45元錢.如果甲的錢增加2元，乙減少2元，丙增至2倍，丁減少為一半，則這四人的錢數相同.問四人各有多少錢？
5，小明、小勇與兩位小同學小英、小娟去給軍屬運蜂窩煤，每人運的塊數不同，但每人每次運的塊數與他自己運的次數正好相等，小明比小勇多運15塊，小英比小娟也多運15塊，問共搬了多少塊蜂窩煤？
6，某汽車製造廠工人共86人，已知每個工人平均可加工甲種零件15個，或乙種零件12個，或丙種零件9個.問應安排加工甲種零件、乙種零件、丙種零件各多少人才能使加工後的3個甲種零件、2個乙種零件和1個丙種零件恰好配套？
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