一、知識梳理
正方形:有一組鄰邊相等的矩形叫正方形．（或有乙個角是直角的菱形叫正方形）
1. 正方形的性質: 由於正方形既是特殊的平行四邊形，又是特殊的矩形和菱形，
它集平行四邊形、矩形、菱形的性質於一身.
因此，正方形具有以下性質：
(1)對邊平行，四條邊都相等.
(2)四個角都是直角．
(3)兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．
2. 正方形的判定方法:
(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形. (2)有乙個角是直角的菱形是正方形.
二、例題精講
例1.四邊形abcd中，ac、bd相交於點o，能判定這個四邊形是正方形的是( )
a. ao=bo=co=do，ac⊥bd b. ab∥cd，ac⊥bd
c. ad∥bc，∠a=∠cd. ao=co，bo=do，ab=bc
例2.正方形的一條邊長是3，那麼它的對角線長是_______．
例3.四邊形abcd是正方形，e、f分別是dc和cb的延長線上的點，且de=bf，連線ae、af、ef．
（1）求證：△ade≌△abf；
（2）填空：△abf可以由△ade繞旋轉中心點，按順時針方向旋轉度得到；
（3）若bc=8，de=6，求△aef的面積．
（1）證明見解析；（2）a，90；（3）50（平方單位）．
【解析】
試題分析：（1）根據正方形的性質得ad=ab，∠d=∠abc=90°，然後利用「sas」易證得△ade≌△abf；
（2）由於△ade≌△abf得∠baf=∠dae，則∠baf+∠ebf=90°，即∠fae=90°，根據旋轉的定義可得到△abf可以由△ade繞旋轉中心 a點，按順時針方向旋轉90 度得到；
（3）先利用勾股定理可計算出ae=10，再根據△abf可以由△ade繞旋轉中心 a點，按順時針方向旋轉90 度得到ae=af，∠eaf=90°，然後根據直角三角形的面積公式計算即可．
試題解析:（1）∵四邊形abcd是正方形，
∴ad=ab，∠d=∠abc=90°，
∴∠abf=90°，
在△ade和△abf中,
，∴△ade≌△abf（sas）
（2）a、90；
（3）∵在正方形abcd中，ad=bc=8，de=6，∠d=90°，
∴ae=，
∵△abf可以由△ade繞a點順時針方向旋轉90°得到，
∴ae=af，∠eaf=90°，
∴△aef的面積=ae2=×100=50（平方單位）．
考點:1.正方形；2.全等三角形；3.旋轉.
例4.如圖，在正方形abcd中，e是ab上一點，be=2，ae=3be，p是ac上一動點，則pb+pe的最小值是 ．
由正方形性質的得出b、d關於ac對稱，根據兩點之間線段最短可知，連線de，交ac於p，連線bp，則此時pb+pe的值最小，進而利用勾股定理求出即可．
【解析】
如圖，連線de，交ac於p，連線bp，則此時pb+pe的值最小．
∵四邊形abcd是正方形，
∴b、d關於ac對稱，
∴pb=pd，
∴pb+pe=pd+pe=de．
∵be=2，ae=3be，
∴ae=6，ab=8，
∴de==10，
故pb+pe的最小值是10．
故答案為：10．
例5．如圖，已知△abc中，∠acb=90°，cd平分∠acb，de⊥bc，df⊥ac，垂足分別為e、f．求證：四邊形cfde是正方形．
例6．已知矩形abcd中，對角線ac、bd相交於o，ae⊥bd於e，
若∠dae：∠bae=3：1，求∠eac的度數．
45°【解析】
試題分析：由∠dae：∠bae=3：1，可得∠bae的大小，進而得出∠abe的大小，又oa=ob，進而可求∠eac的大小．
如圖∵∠dae：∠bae=3：1，
∴∠bae=22.5°，∵ae⊥於bd，∴∠aeb=90°
∴∠abe=67.5°，
∵四邊形abcd是矩形，
∴ac=bd，ao=co，bo=do
∴oa=ob，
∴∠oab=∠abe=67.5°
∴∠eac=∠oab-∠bae=67.5°-22.5°=45°．
例7.如圖，在正方形abcd中，點m是對角線bd上的一點，過點m作me∥cd交bc於點e，作mf∥bc交cd於點f．求證：am=ef．
過m點作mq⊥ad，垂足為q，作mp垂足ab，垂足為p，根據題幹條件證明出ap=mf，pm=me，進而證明△apm≌△fme，即可證明出am=ef．
證明：過m點作mq⊥ad，垂足為q，作mp垂足ab，垂足為p，
∵四邊形abcd是正方形，
∴四邊形mfdq和四邊形pbem是正方形，四邊形apmq是矩形，
∴ap=qm=df=mf，pm=pb=me，
∵在△apm和△fme中，
，∴△apm≌△fme（sas），
∴am=ef．
例8. 如圖，在四邊形abcd中，ab=bc，對角線bd平分abc，p是bd上一點，過點p作pmad，pncd，垂足分別為m、n。
(1) 求證：adb=cdb；
(2) 若adc=90，求證：四邊形mpnd是正方形。
（1）根據角平分線的性質和全等三角形的判定方法證明△abd≌△cbd，由全等三角形的性質即可得到：∠adb=∠cdb；
（2）若∠adc=90°，由（1）中的條件可得四邊形mpnd是矩形，再根據兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形mpnd是正方形．
證明：（1）∵對角線bd平分∠abc，
∴∠abd=∠cbd，
在△abd和△cbd中，
，∴△abd≌△cbd（sas），
∴∠adb=∠cdb；
（2）∵pm⊥ad，pn⊥cd，∠adb=∠cdb，
∴∠pmd=∠pnd=90°，pm=pn，
∵∠adc=90°，
∴四邊形mpnd是矩形，
∵pm=pn，
∴四邊形mpnd是正方形．
三、同步練習
a 組一、選擇題
1.兩條平行線被第三條直線所截，兩組內錯角的平分線相交所成的四邊形是（ ）
a. 一般平行四邊形 b. 菱形 c. 矩形 d. 正方形
2.在正方形abcd中，ab=12 cm，對角線ac、bd相交於o，則△abo的周長是（ ）
a.12+12 b.12+6 c.12+ d.24+6
由正方形邊長與對角線之比為1：可得ao=bo=6，又邊長為12cm，故可求得△abo的周長．【解析】
由題意可得ao=bo=6cm，ab=12cm
∴△abo的周長為12+12（cm）．
故選a．
3.如圖，四邊形abcd、aefg均為正方形，其中e在bc上，且b、e兩點不重合，並連線bg．根據圖中標示的角判斷下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小關係何者正確？（ ）
a．∠1＜∠2 b．∠1＞∠2 c．∠3＜∠4 d．∠3＞∠4
根據正方形的每乙個角都是直角求出∠bad=∠eag=90°，然後根據同角的餘角相等可得∠1=∠2，根據直角三角形斜邊大於直角邊可得ae＞ab，從而得到ag＞ab，再根據三角形中長邊所對的角大於短邊所對的角求出∠3＞∠4．
【解析】
∵四邊形abcd、aefg均為正方形，
∴∠bad=∠eag=90°，
∵∠bad=∠1+∠dae=90°，
∠eag=∠2+∠dae=90°，
∴∠1=∠2，
在rt△abe中，ae＞ab，
∵四邊形aefg是正方形，
∴ae=ag，
∴ag＞ab，
∴∠3＞∠4．
故選d．
4.如圖，點e是正方形abcd內的一點，連線ae、be、ce，將△abe繞點b順時針旋轉90°到△cbe′的位置．若ae=1，be=2，ce=3，則∠be′c= 度．
首先根據旋轉的性質得出∠ebe′=90°，be=be′=2，ae=e′c=1，進而根據勾股定理的逆定理求出△ee′c是直角三角形，進而得出答案．
【解析】
連線ee′，
∵將△abe繞點b順時針旋轉90°到△cbe′的位置，ae=1，be=2，ce=3，
∴∠ebe′=90°，be=be′=2，ae=e′c=1，
∴ee′=2，∠be′e=45°，
∵e′e2+e′c2=8+1=9，
ec2=9，
∴e′e2+e′c2=ec2，
∴△ee′c是直角三角形，
∴∠ee′c=90°，
∴∠be′c=135°．
故答案為：135．
b組1.如圖，e、f分別是正方形abcd的邊cd、ad上的點，且ce=df，ae、bf相交於點o，下列結論：（1）ae=bf；（2）ae⊥bf；（3）ao=oe；（4）中正確的有（ ）
a. 4個 b. 3個 c. 2個 d. 1個
b。【解析】在正方形abcd中，∵ad=cd，ce=df，∴af=de。
又∵ab=ad，∠baf=∠d=900，∴△abf≌△dae（sas）。
∴ae=bf，∠afb=∠dea，∠abf=∠dae 。
∵，∴。∴，即ae⊥bf。
∵，即，∴。
而顯而易見，ao≠oe。
綜上所述，結論（1），（2），（4）三個正確。故選b。
2.已知，在△abc中，∠bac=90°，∠abc=45°，點d為直線bc上一動點（點d不與點b，c重合）．以ad為邊做正方形adef，連線cf
（1）如圖1，當點d**段bc上時．求證cf+cd=bc；
（2）如圖2，當點d**段bc的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出cf，bc，cd三條線段之間的關係；
（3）如圖3，當點d**段bc的反向延長線上時，且點a，f分別在直線bc的兩側，其他條件不變；
①請直接寫出cf，bc，cd三條線段之間的關係；
②若正方形adef的邊長為2，對角線ae，df相交於點o，連線oc．求oc的長度．
試題答案
【答案】分析：（1）三角形abc是等腰直角三角形，利用sas即可證明△bad≌△caf，從而證得cf=bd，據此即可證得；
（2）同（1）相同，利用sas即可證得△bad≌△caf，從而證得bd=cf，即可得到cf-cd=bc；
（3）首先證明△bad≌△caf，△fcd是直角三角形，然後根據正方形的性質即可求得df的長，則oc即可求得．
解答：證明：（1）∵∠bac=90°，∠abc=45°，
∴∠acb=∠abc=45°，
∴ab=ac，
∵四邊形adef是正方形，
∴ad=af，∠daf=90°，
∵∠bad=90°-∠dac，∠caf=90°-∠dac，
∴∠bad=∠caf，
則在△bad和△caf中，
，∴△bad≌△caf（sas），
∴bd=cf，
∵bd+cd=bc，
∴cf+cd=bc；
（2）cf-cd=bc；
（3）①cd-cf=bc
②∵∠bac=90°，∠abc=45°，
∴∠acb=∠abc=45°，
∴ab=ac，
∵四邊形adef是正方形，
∴ad=af，∠daf=90°，
∵∠bad=90°-∠baf，∠caf=90°-∠baf，
∴∠bad=∠caf，
∵在△bad和△caf中，
∴△bad≌△caf（sas），
∴∠acf=∠abd，
∵∠abc=45°，
∴∠abd=135°，
∴∠acf=∠abd=135°，
∴∠fcd=90°，
∴△fcd是直角三角形．
∵正方形adef的邊長為2且對角線ae、df相交於點o．
∴df=ad=4，o為df中點．
∴oc=df=2．
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第21講矩形 菱形 正方形 2課時
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