第9講正方形的性質和判定
一．知識要點：
1．正方形的定義：
有一組鄰邊相等，並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
2．正方形的性質
正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性質：
① 邊的性質：對邊平行，四條邊都相等．
② 角的性質：四個角都是直角．
③ 對角線性質：兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角．
④ 對稱性：正方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．
平行四邊形、矩形、菱形和正方形的關係：（如圖）
3．正方形的判定
判定①：有一組鄰邊相等的矩形是正方形．
判定②：有乙個角是直角的菱形是正方形．
例題講解
例1、如圖（*），四邊形abcd是正方形，點e是邊bc的中點，∠aef=90°，且ef交正方形外角平分線cf於點f．請你認真閱讀下面關於這個圖的**片段，完成所提出的問題．
（1）**1：小強看到圖（*）後，很快發現ae=ef，這需要證明ae和ef所在的兩個三角形全等，但△abe和△ecf顯然不全等（乙個是直角三角形，乙個是鈍角三角形），考慮到點e是邊bc的中點，因此可以選取ab的中點m，連線em後嘗試著去證△aem≌efc就行了，隨即小強寫出了如下的證明過程：
證明：如圖1，取ab的中點m，連線em．
∵∠aef=90°
∴∠fec+∠aeb=90°
又∵∠eam+∠aeb=90°
∴∠eam=∠fec
∵點e，m分別為正方形的邊bc和ab的中點
∴am=ec
又可知△bme是等腰直角三角形
∴∠ame=135°
又∵cf是正方形外角的平分線
∴∠ecf=135°
∴△aem≌△efc（asa）
∴ae=ef
（2）**2：小強繼續探索，如圖2，若把條件「點e是邊bc的中點」改為「點e是邊bc上的任意一點」，其餘條件不變，發現ae=ef仍然成立，請你證明這一結論．
（3）**3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件「點e是邊bc的中點」改為「點e是邊bc延長線上的一點」，其餘條件仍不變，那麼結論ae=ef是否成立呢？若成立請你完成證明過程給小強看，若不成立請你說明理由．
例2．（1）如圖①，在正方形abcd中，△aef的頂點e，f分別在bc，cd邊上，高ag與正方形的邊長相等，求∠eaf的度數．
（2）如圖②，在rt△abd中，∠bad=90°，ab=ad，點m，n是bd邊上的任意兩點，且∠man=45°，將△abm繞點a逆時針旋轉90°至△adh位置，連線nh，試判斷mn，nd，dh之間的數量關係，並說明理由．
（3）在圖①中，連線bd分別交ae，af於點m，n，若eg=4，gf=6，bm=3，求ag，mn的長．
練習．選擇題（共6小題）
1．已知在平面直角座標系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點b1在y軸上，點c1、e1、e2、c2、e3、e4、c3在x軸上．若正方形a1b1c1d1的邊長為1，∠b1c1o=60°，b1c1∥b2c2∥b3c3，則點a3到x軸的距離是（ ）
2．如圖，邊長為a的正方形abcd繞點a逆時針旋轉30°得到正方形a′b′c′d′，圖中陰影部分的面積為（）
3．正方形abcd，正方形befg和正方形rkpf的位置如圖所示，點g**段dk上，且g為bc的三等分點，r為ef中點，正方形befg的邊長為4，則△dek的面積為（）
4．將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點a1，a2，…，an分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為（）
5．在直線l上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是s1，s2，s3，s4，則s1+s2+s3+s4=（）
二．填空題（共6小題）
1．如圖，p是正方形abcd內一點，將△abc繞點b順時針方向旋轉能與△cbp′重合，若pb=3，則pp′= ．
2．如圖所示，兩個正方形的邊長分別為a和b，如果a+b=10，ab=20，那麼陰影部分的面積是20．
3．已知，如圖，在正方形abcd中，o是對角線ac、bd的交點，過o作oe⊥of，分別交ab、bc於點e、f，若ae=4，cf=3，則四邊形oebf的面積為 ．
4．如圖，a**段bg上，abcd和defg都是正方形，面積分別為7平方厘公尺和11平方厘公尺，則△cde的面積等於
平方厘公尺．
5．如圖，點p是正方形abcd的對角線bd上一點，pe⊥bc於點e，pf⊥cd於點f，連線ef給出下列五個結論：①ap=ef；②ap⊥ef；③△apd一定是等腰三角形；④∠pfe=∠bap；⑤pd=ec．其中正確結論的序號是
6．如圖，在平面直角座標系中，邊長為1的正方形oa1b1c的對角線a1c和ob1交於點m1；以m1a1為對角線作第二個正方形a2a1b2m1，對角線a1m1和a2b2交於點m2；以m2a1為對角線作第三個正方形a3a1b3m2，對角線a1m2和a3b3交於點m3；…，依此類推，這樣作的第n個正方形對角線交點mn的座標為
三．解答題（共18小題）
1．已知正方形abcd的對角線ac與bd交於點o，點e、f分別是ob、oc上的動點，
（1）如果動點e、f滿足be=cf（如圖1）：
①寫出所有以點e或f為頂點的全等三角形（不得新增輔助線）；
②證明：ae⊥bf；
（2）如果動點e、f滿足be=of（如圖2），問當ae⊥bf時，點e在什麼位置，並證明你的結論．
2．如圖，分別以△abc的三邊為邊在bc的同側作三個等邊三角形，即△abd，△bce，△acf．請回答下列問題：
（1）說明四邊形adef是什麼四邊形？
（2）當△abc滿足什麼條件時，四邊形adef是矩形？
（3）當△abc滿足什麼條件時，四邊形adef是菱形？
（4）當△abc滿足什麼條件時，四邊形adef是正方形？
（5）當△abc滿足什麼條件時，以a，d，e，f為頂點的四邊形不存在？
（第（2）（3）（4）（5）題不必說明理由）
3．在平面直角座標系xoy中，oefg為正方形，點f的座標為（1，1）．將乙個最短邊長大於的直角三角形紙片的直角頂點放在對角線fo上．
（1）如圖，當三角形紙片的直角頂點與點f重合，一條直角邊落在直線fo上時，這個三角形紙片與正方形oefg重疊部分（即陰影部分）的面積為 ；
（2）若三角形紙片的直角頂點不與點o，f重合，且兩條直角邊與正方形相鄰兩邊相交，當這個三角形紙片與正方形oefg重疊部分的面積是正方形面積的一半時，試確定三角形紙片直角頂點的座標（不要求寫出求解過程），並畫出此時的圖形．
4．（1）如圖1，在正方形abcd中，e是ab上一點，f是ad延長線上一點，且df=be．求證：ce=cf；
（2）如圖2，在正方形abcd中，e是ab上一點，g是ad上一點，如果∠gce=45°，請你利用（1）的結論證明：ge=be+gd．
（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：
如圖3，在直角梯形abcd中，ad∥bc（bc＞ad），∠b=90°，ab=bc，e是ab上一點，且∠dce=45°，be=4，de=10，求直角梯形abcd的面積．
5．如圖，四邊形abcd是正方形，△abe是等邊三角形，m為對角線bd（不含b點）上任意一點，將bm繞點b逆時針旋轉60°得到bn，連線en、am、cm．
（1）求證：△amb≌△enb；
（2）①當m點在何處時，am+cm的值最小；
②當m點在何處時，am+bm+cm的值最小，並說明理由；
（3）當am+bm+cm的最小值為時，求正方形的邊長．
6．如圖，在邊長為4的正方形abcd中，點p在ab上從a向b運動，連線dp交ac於點q．
（1）試證明：無論點p運動到ab上何處時，都有△adq≌△abq；
（2）當點p在ab上運動到什麼位置時，△adq的面積是正方形abcd面積的；
（3）若點p從點a運動到點b，再繼續在bc上運動到點c，在整個運動過程中，當點p運動到什麼位置時，△adq恰為等腰三角形．
7．以四邊形abcd的邊ab、bc、cd、da為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為e、f、g、h，順次連線這四個點，得四邊形efgh．
（1）如圖1，當四邊形abcd為正方形時，我們發現四邊形efgh是正方形；如圖2，當四邊形abcd為矩形時，請判斷：四邊形efgh的形狀（不要求證明）；
（2）如圖3，當四邊形abcd為一般平行四邊形時，設∠adc=α（0°＜α＜90°），
①試用含α的代數式表示∠hae；
②求證：he=hg；
③四邊形efgh是什麼四邊形？並說明理由．
8．如圖①所示，已知a、b為直線l上兩點，點c為直線l上方一動點，連線ac、bc，分別以ac、bc為邊向△abc外作正方形cadf和正方形cbeg，過點d作dd1⊥l於點d1，過點e作ee1⊥l於點e1．
（1）如圖②，當點e恰好在直線l上時（此時e1與e重合），試說明dd1=ab；
（2）在圖①中，當d、e兩點都在直線l的上方時，試探求三條線段dd1、ee1、ab之間的數量關係，並說明理由；
（3）如圖③，當點e在直線l的下方時，請直接寫出三條線段dd1、ee1、ab之間的數量關係．（不需要證明）
9．在圖1到圖3中，點o是正方形abcd對角線ac的中點，△mpn為直角三角形，∠mpn=90°．正方形abcd保持不動，△mpn沿射線ac向右平移，平移過程中p點始終在射線ac上，且保持pm垂直於直線ab於點e，pn垂直於直線bc於點f．
（1）如圖1，當點p與點o重合時，oe與of的數量關係為oe=of；
（2）如圖2，當p**段oc上時，猜想oe與of有怎樣的數量關係與位置關係？並對你的猜想結果給予證明；
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