因式分解
一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一講裡，我們已經學習了乘法公式中的立方和、立方差公式：
(立方和公式)
(立方差公式)
由於因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：
這就是說，兩個數的立方和(差)，等於這兩個數的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)．
運用這兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項式進行因式分解．
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項式：
(12)
分析： (1)中，，(2)中．
解：(1)
(2)說明：(1) 在運用立方和(差)公式分解因式時，經常要逆用冪的運算法則，如，這裡逆用了法則；(2) 在運用立方和(差)公式分解因式時，一定要看準因式中各項的符號．
【例2】分解因式：
(12)
分析：(1) 中應先提取公因式再進一步分解；(2) 中提取公因式後，括號內出現，可看著是或．
解：(1)．
(2)二、分組分解法
從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式．而對於四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取．因此，可以先將多項式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關鍵在於如何分組．
1．分組後能提取公因式
【例3】把分解因式．
分析：把多項式的四項按前兩項與後兩項分成兩組，並使兩組的項按的降冪排列，然後從兩組分別提出公因式與，這時另乙個因式正好都是，這樣可以繼續提取公因式．
解： 說明：用分組分解法，一定要想想分組後能否繼續完成因式分解，由此合理選擇分組的方法．本題也可以將
一、四項為一組，二、三項為一組，同學不妨一試．
【例4】把分解因式．
分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號開啟後重新分組，然後再分解因式．
解：說明：由例3、例4可以看出，分組時運用了加法結合律，而為了合理分組，先運用了加法交換律，分組後，為了提公因式，又運用了分配律．由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用．
2．分組後能直接運用公式
【例5】把分解因式．
分析：把第
一、二項為一組，這兩項雖然沒有公因式，但可以運用平方差公式分解因式，其中乙個因式是；把第
三、四項作為另一組，在提出公因式後，另乙個因式也是.
解： 【例6】把分解因式．
分析：先將係數2提出後，得到，其中前三項作為一組，它是乙個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續分解因式．
解：說明：從例5、例6可以看出：如果乙個多項式的項分組後，各組都能直接運用公式或提取公因式進行分解，並且各組在分解後，它們之間又能運用公式或有公因式，那麼這個多項式就可以分組分解法來分解因式．
三、十字相乘法
1．型的因式分解
這類式子在許多問題中經常出現，其特點是：
(1) 二次項係數是1；(2) 常數項是兩個數之積；(3) 一次項係數是常數項的兩個因數之和．
因此，運用這個公式，可以把某些二次項係數為1的二次三項式分解因式．
【例7】把下列各式因式分解：
(12)
解：(1)
．(2)說明：此例可以看出，常數項為正數時，應分解為兩個同號因數，它們的符號與一次項係數的符號相同．
【例8】把下列各式因式分解：
(12)
解：(1)
(2)說明：此例可以看出，常數項為負數時，應分解為兩個異號的因數，其中絕對值較大的因數與一次項係數的符號相同．
【例9】把下列各式因式分解：
(12)
分析：(1) 把看成的二次三項式，這時常數項是，一次項係數是，把分解成與的積，而，正好是一次項係數．
2) 由換元思想，只要把整體看作乙個字母，可不必寫出，只當作分解二次三項式．
解：(1)
(2)2．一般二次三項式型的因式分解
大家知道，．
反過來，就得到：
我們發現，二次項係數分解成，常數項分解成，把寫成，這裡按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等於的一次項係數，那麼就可以分解成，其中位於上一行，位於下一行．
這種借助畫十字交叉線分解係數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必須注意，分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定乙個二次三項式能否用十字相乘法分解．
【例10】把下列各式因式分解：
(12)
解：(1
(2)說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要．當二次項係數不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關常數分解，交叉相乘後，若原常數為負數，用減法」湊」，看是否符合一次項係數，否則用加法」湊」，先」湊」絕對值，然後調整，新增正、負號．
四、其它因式分解的方法
1．配方法
【例11】分解因式
解：說明：這種設法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方後將二次三項式化為兩個平方式，然後用平方差公式分解．當然，本題還有其它方法，請大家試驗．
2．拆、添項法
【例12】分解因式
分析：此多項式顯然不能直接提取公因式或運用公式，分組也不易進行．細查式中無一次項，如果它能分解成幾個因式的積，那麼進行乘法運算時，必是把一次項係數合併為0了，可考慮通過添項或拆項解決．
解：說明：本解法把原常數4拆成1與3的和，將多項式分成兩組，滿足係數對應成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件．本題還可以將拆成，將多項式分成兩組和．
一般地，把乙個多項式因式分解，可以按照下列步驟進行：
(1) 如果多項式各項有公因式，那麼先提取公因式；
(2) 如果各項沒有公因式，那麼可以嘗試運用公式來分解；
(3) 如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解；
(4) 分解因式，必須進行到每乙個多項式因式都不能再分解為止．
a 組
1．把下列各式分解因式：
(123)
(456)
2．把下列各式分解因式：
(12)
(34)
3．把下列各式分解因式：
(123)
(456)
4．把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)
(456)
(78)
5．把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(78)
第二講因式分解答案
a組1．
2．3．4． 5．．
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