《計算方法》實驗報告三
摘要：在工程測量和科學實驗中，所得到的資料通常都是離散的，如果要得到這些離散點意外的其他點的數值，就需要根據這些已知資料進行插值。這裡我們將採用多種插值方法。
前言：（目的和意義）
掌握lagrange,newton,hermite,線性，三次樣條插值法的原理及應用，並能求解相應問題。
數學原理：
主要的插值法有：多項式插值法、拉格朗日插值法、線性插值法、牛頓插值法，hermite插值法三次樣條插值法等。各種插值法各有各的優點與不足。
lagrange插值：
hermite插值：
一次插值：
二次插值：
newton
程式設計：
本實驗採用matlab編寫。由於本實驗討論的插值函式都是一維的，故呼叫格式為
y1=interp1(x,y,x1,method)
函式根據x,y的值，計算函式在x1處的值。
2．給出的數值表
用線性插值，二次插值及三次插值計算的近似值。
解：程式如下:
線性插值：
x=0.4:0.1:0.8;
f=[-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.357765,-0.223144];
format long
interp1(x,f,0.54)
ans =
-0.620218600000000
二次插值：(採用matlab的m檔案)
x=0.54;
a=[0.4,0.5,0.6];
b=[-0.916291,-0.693147,-0.510826];
l=b(1)*(x-a(2))*(x-a(3))/((a(1)-a(2))*(a(1)-a(3)));
m=b(2)*(x-a(1))*(x-a(3))/((a(2)-a(1))*(a(2)-a(3)));
n=b(3)*(x-a(1))*(x-a(2))/((a(3)-a(1))*(a(3)-a(2)));
y=l+m+n
結果如下：
y = -0.61531984000000
三次樣條插值：
x=0.4:0.1:0.8;
f=[-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.357765,-0.223144];
format long
interp1(x,f,0.54,'spline')
ans =
-0.61597777000000
三次多項式插值：
x=0.4:0.1:0.8;
f=[-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.357765,-0.223144];
format long
interp1(x,f,0.54,'cubic')
ans =
-0.61604826180425
2 。在上給出的等距節點函式表，若用二次插值求的近似值，要使截斷誤差不超過，使用函式表的步長h應取多少？
解：若插值節點為和，則分段二次插值多項式的插值餘項為
設步長為h，即
若截斷誤差不超過，則
那麼主程式如下：
h=input('h');
if sqrt(3)/27*exp(4)*h^3<=10^(-6)
h='yes';
else h='no';
endh
結果是3設，在上取，按等距節點求分段線性插值函式，計算各節點間中點處的與值，並估計誤差。
for x=-4.5:4.5
y=1/(x^2+1)
end=0.04705882352941；
=0.07547169811321；
=0.13793103448276
=0.30769230769231；
=0.80000000000000；
求的值，程式如下：
x=input('請輸入x的值');
a=[x-0.5,x+0.5];
y=[1/(1+(x-0.5)^2),1/(1+(x+0.5)^2)];
i=y(1)*(x-a(2))/(a(1)-a(2))+y(2)*(x-a(1))/(a(2)-a(1))
當分別輸入時，的值分別為：0.0486，0.0794,0.1500,0.3500,0.7500
20．給定資料表如下：
試求三次樣條插值s(x)及lagrange插值，並滿足條件：
解：(1)
(2)結果分析和討論：
各種插值方法都有自己的優點。例如lagrange插值多項式是數值積分與常微分方程數值解的重要工具，而分段多項式插值具有良好的穩定性和收斂性，更便於應用。而對同乙個問題而言，用不同的插值多項式所得的解存在微小差異，故誤差分析也是很必要的。
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