數論專題典型結論彙總
整除一、常見數字的整除判定方法
1. 乙個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除；
乙個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除；
乙個數的末三位能被8或125整除，這個數就能被8或125整除；
2. 乙個位數數字和能被3整除，這個數就能被3整除；
乙個數各位數數字和能被9整除，這個數就能被9整除；
3. 如果乙個整數的奇數字上的數字之和與偶數字上的數字之和的差能被11整除，那麼這個數能被11整除.
4. 如果乙個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除，那麼這個數能被7、11或13整除.
5.如果乙個數能被99整除，這個數從後兩位開始兩位一截所得的所有數（如果有偶數字則拆出的數都有兩個數字，如果是奇數字則拆出的數中若干個有兩個數字還有乙個是一位數）的和是99的倍數，這個數一定是99的倍數。
【備註】（以上規律僅在十進位制數中成立.）
二、整除性質
性質1 如果數a和數b都能被數c整除，那麼它們的和或差也能被c整除．即如果c︱a，
c︱b，那麼c︱(a±b)．
性質2 如果數a能被數b整除，b又能被數c整除，那麼a也能被c整除．即如果b∣a，
c∣b，那麼c∣a．
用同樣的方法，我們還可以得出：
性質3 如果數a能被數b與數c的積整除，那麼a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那
麼b∣a，c∣a．
性質4 如果數a能被數b整除，也能被數c整除，且數b和數c互質，那麼a一定能被b
與c的乘積整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那麼bc∣a．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那麼(3×4) ∣12．
性質5 如果數a能被數b整除，那麼am也能被bm整除．如果 b｜a，那麼bm｜am（m為非0整數）；
性質6 如果數a能被數b整除，且數c能被數d整除，那麼ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那麼bd｜ac；
質數合數
一、判斷乙個數是否為質數的方法
根據定義如果能夠找到乙個小於p的質數q(均為整數)，使得q能夠整除p，那麼p就不是質數，所以我們只要拿所有小於p的質數去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對於不太大的p，我們可以先找乙個大於且接近p的平方數，再列出所有不大於k的質數，用這些質數去除p，如沒有能夠除盡的那麼p就為質數.例如：149很接近，根據整除的性質149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質數.
二、唯一分解定理
任何乙個大於1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即：其中為質數，為自然數，並且這種表示是唯一的.該式稱為n的質因子分解式.
例如：三個連續自然數的乘積是210，求這三個數.
分析：∵210=2×3×5×7，∴可知這三個數是5、6和7.
三、部分特殊數的分解
；；；；；；；；.
約數倍數
一、求最大公約數的方法
①分解質因數法：先分解質因數，然後把相同的因數連乘起來．
例如：，，所以；
②短除法：先找出所有共有的約數，然後相乘．例如：，所以；
③輾轉相除法：每一次都用除數和餘數相除，能夠整除的那個餘數，就是所求的最大公約數．用輾轉相除法求兩個數的最大公約數的步驟如下：先用小的乙個數除大的乙個數，得第乙個餘數；再用第乙個餘數除小的乙個數，得第二個餘數；又用第二個餘數除第乙個餘數，得第三個餘數；這樣逐次用後乙個餘數去除前乙個餘數，直到餘數是0為止．那麼，最後乙個除數就是所求的最大公約數．(如果最後的除數是1，那麼原來的兩個數是互質的)．
例如，求600和1515的最大公約數：；；；；；所以1515和600的最大公約數是15．
二、最大公約數的性質
①幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數；
②幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數；
③幾個數都乘以乙個自然數，所得的積的最大公約數等於這幾個數的最大公約數乘以．
三、求一組分數的最大公約數
先把帶分數化成假分數，其他分數不變；求出各個分數的分母的最小公倍數a；求出各個分數的分子的最大公約數b；即為所求．
四 、約數、公約數最大公約數的關係
（1）約數是對乙個數說的；
（2）公約數是最大公約數的約數，最大公約數是公約數的倍數
五、求最小公倍數的方法
①分解質因數的方法；
例如：，，所以；
②短除法求最小公倍數；
例如： ，所以；
③．六、 最小公倍數的性質
①兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數．
②兩個互質的數的最小公倍數是這兩個數的乘積．
③兩個數具有倍數關係，則它們的最大公約數是其中較小的數，最小公倍數是較大的數．
七、求一組分數的最小公倍數方法步驟
先將各個分數化為假分數；求出各個分數分子的最小公倍數；求出各個分數分母的最大公約數；即為所求．例如：
注意：兩個最簡分數的最大公約數不能是整數，最小公倍數可以是整數.例如：
八、倍數、公倍數、最小公倍數的關係
（1）倍數是對乙個數說的；
（2）最小公倍數是公倍數的約數，公倍數是最小公倍數的倍數
九、最大公約數與最小公倍數的常用性質
1． 兩個自然數分別除以它們的最大公約數，所得的商互質。
如果為、的最大公約數，且，，那麼互質，所以、的最小公倍數為，所以最大公約數與最小公倍數有如下一些基本關係：
①，即兩個數的最大公約數與最小公倍數之積等於這兩個數的積；
②最大公約數是、、、及最小公倍數的約數．
2． 兩個數的最大公約和最小公倍的乘積等於這兩個數的乘積。
即，此性質比較簡單，學生比較容易掌握。
3． 對於任意3個連續的自然數，如果三個連續數的奇偶性為
a)奇偶奇，那麼這三個數的乘積等於這三個數的最小公倍數
例如：，210就是567的最小公倍數
b)偶奇偶，那麼這三個數的乘積等於這三個數最小公倍數的2倍
例如：，而6,7,8的最小公倍數為
性質（3）不是乙個常見考點，但是也比較有助於學生理解最小公倍數與數字乘積之間的大小關係，即「幾個數最小公倍數一定不會比他們的乘積大」。
十、求約數個數與所有約數的和
1． 求任一整數約數的個數
乙個整數的約數的個數是在對其嚴格分解質因數後，將每個質因數的指數(次數)加1後所得的乘積。
如:1400嚴格分解質因數之後為，所以它的約數有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24個。(包括1和1400本身)
約數個數的計算公式是本講的乙個重點和難點，授課時應重點講解，公式的推導過程是建立在開篇講過的數字「唯一分解定理」形式基礎之上，結合乘法原理推導出來的，不是很複雜，建議給學生推導並要求其掌握。難點在於公式的逆推，有相當一部分常考的偏難題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴乙個數有多少個約數，然後再結合其他幾個條件將原數「還原構造」出來，或者是「構造出可能的最值」。
2． 求任一整數的所有約數的和
乙個整數的所有約數的和是在對其嚴格分解質因數後，將它的每個質因數依次從1加至這個質因數的最高次冪求和，然後再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數的所有約數的和。
如：，所以21000所有約數的和為
此公式沒有第乙個公式常用，推導過程相對複雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學生找規律性的記憶即可。
十一、完全平方數常用性質
1.主要性質
1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。
2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。
3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。
4.若質數p整除完全平方數，則p能被整除。
2.性質
性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9．
性質2：完全平方數被3，4，5，8，16除的餘數一定是完全平方數．
性質3：自然數n為完全平方數自然數n約數的個數為奇數．因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果p是質數，n是自然數，n是完全平方數，且，則．
性質4：完全平方數的個位是6它的十位是奇數．
性質5：如果乙個完全平方數的個位是0，則它後面連續的0的個數一定是偶數．如果乙個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的乙個．
性質6：如果乙個自然數介於兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方數．
3.一些重要的推論
1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除餘1.即被4除餘2或3的數一定不是完全平方數。
2.乙個完全平方數被3除的餘數是0或1.即被3除餘2的數一定不是完全平方數。
3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方數個位數字是奇數（1，5，9）時，其十位上的數字必為偶數。
5.完全平方數個位數字是偶數（0，4）時，其十位上的數字必為偶數。
6.完全平方數的個位數字為6時，其十位數字必為奇數。
7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個「0」的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
3.重點公式回顧：平方差公式：
餘數一、三大餘數定理：
1.餘數的加法定理
a與b的和除以c的餘數，等於a,b分別除以c的餘數之和，或這個和除以c的餘數。
例如：23，16除以5的餘數分別是3和1，所以23+16＝39除以5的餘數等於4，即兩個餘數的和3+1.當餘數的和比除數大時，所求的餘數等於餘數之和再除以c的餘數。
例如：23，19除以5的餘數分別是3和4，所以23+19＝42除以5的餘數等於3+4=7除以5的餘數為2
2.餘數的減法定理
a與b的差除以c的餘數，等於a,b分別除以c的餘數之差。
例如：23，16除以5的餘數分別是3和1，所以23－16＝7除以5的餘數等於2，兩個餘數差3－1＝2.
當餘數的差不夠減時時，補上除數再減。
例如：23，14除以5的餘數分別是3和4，23－14＝9除以5的餘數等於4，兩個餘數差為3＋5－4＝4
3.餘數的乘法定理
a與b的乘積除以c的餘數，等於a,b分別除以c的餘數的積，或者這個積除以c所得的餘數。
例如：23，16除以5的餘數分別是3和1，所以23×16除以5的餘數等於3×1＝3。
工作總結上傳
一年來，在領導和同事的大力支援和幫助下，我在實踐中學習，在學習中提高，較短時間內進入了角色，完成了領導交辦的各項工作任務。現將本人一年來的思想 工作情況向組織做一匯報。一 勤於學習，努力提高自己的政治修養和整體素質 一是黨的路線方針政策的學習。我重點學習了黨的十七精神，積極參加局裡和中心組織的學習實...
個人總結 上傳版
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