假設法假設法：
一、 方法提要：
假設法是對於待求解的問題，在與原題所給條件不相違的前提下，人為的加上或減去某些條件，以使原題方便求解。求解物理試題常用的有假設物理情景，假設物理過程，假設物理量等，利用假設法處理某些物理問題，往往能突破思維障礙，找出新的解題途徑，化難為易，化繁為簡。
二、 例題：
例1：如圖，半徑為r的鉛球內有一半徑為的球形空腔，其表面與球面相切，此鉛球的質量為m ，在鉛球和空腔的中心連線上，距離鉛球中心l處有一質量為m的小球（可以看成質點），求鉛球小球的引力。
解析：設想把挖去部分用與鉛球同密度的材料填充，填充部分鉛球的質量為m1 。為了抵消填充球體產生的引力，我們在右邊等距離處又放置乙個等質量的球體。如圖10—6甲所示。
設放置的球體的質量為m1 ，則：
m1 = ρ1π ()3 =m0 =m
填補後的鉛球質量：
m0 = m + m1 =m
則原鉛球對小球引力為：
f = f0－f1 =－=－=［－］
說明：但是需要注意，並不是所有求引力的問題都可以用假設法解決，尤其不能假設乙個處於特定位置的「試探物體」解題。因為物體質心不等於引力中心，事實上，不存在「引力中心」一說。
例2：乙個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ = 30°，如圖。一長為l的繩（質量不計），一端固定在圓錐體的頂點o處，另一端拴著乙個質量為m的小物體（可看做質點）。
物體以速度v繞圓錐體的軸線在水平面內做勻速圓周運動。
（1）當v1 =時，求繩對物體的拉力；
（2）當v2 =時，求繩對物體的拉力。
解析：當物體以某一速率繞圓錐體的軸線做水平勻面內的勻速圓周運動時，可能存在圓錐體對物體的彈力為零的臨界狀況，此時物體剛好與圓錐面接觸但不發生形變。而當速率變大時，物體將脫離圓錐面，從而導致繩對物體的拉力大小和方向都要變化。
因此，此題的關鍵是先求出臨界狀態下線速度的值。
以小物體為研究物件，假設它與圓錐面接觸，而沒有彈力作用。受力如圖所示，根據運動定律得：
tcosθ = mg
tsin
解①、②得：v =
（1）因為v1 =＜v ，所以物體m與圓錐而接觸且有壓力，受力如圖所示，由運動定律得：
t1cosθ + nsinθ = mg
t1sinθ－ncosθ = m ④
解③、④得拉力：t1 = (3+ 1)
（2）因為v2 =＞v ，所以物體m脫離圓錐面，設繩子與軸線的夾角為φ ，受力如圖所示，由運動定律得：
t2sinφ = m
t2cosφ = mg
解⑤、⑥得繩子拉力：t2 = 2mg
說明：物理問題往往涉及臨界狀態，同學們做題時要有求解臨界狀態的意識。而用假設法求解臨界狀態是常用手段。
例3：三個半徑為r 、質量相等的球放一在乙個半球形碗內，現把第四個半徑也為r ，質量也相等的相同球放在這三個球的正上方，要使四個球都能靜止，大的半球形碗的半徑應滿足什麼條件？不考慮各處摩擦。
解析：假設碗的球面半徑很大，把碗麵變成平面。因為各接觸面是光滑的，當放上第四個球后，下面的三個球會散開，所以臨界情況是放上第四個球后，下面三個球之間剛好無彈力。
把上面的球記為a ，下面三個球分別記為b 、c 、d ，則四個球的球心連起來構成乙個正四面體，正四面體的邊長均2r ，如圖所示。
設a 、b球心的連線與豎直方向的夾角為α ，設碗麵球心為o ，o與b球心的連線與豎直方向的夾角為β ，碗面對上面三個球的作用力都為f ，如圖所示。先以整體為研究物件，受重力、碗面對三個球的彈力f ，在豎直方向上有：
3fcosβ = 4mg
再以b球為研究物件，受重力mg 、碗面對b球的作用力f 、a球對b的壓力fn ，根據共點力平衡條件，有：
，消去fn ，得：
tan①、②聯立，消去f得：
tanβ =tan
因為四個球的球心構成乙個邊長為2r正四面體，如圖所示，根據幾何關係，可以知道：
tanα ====
代入③式得：tanβ =
於是碗麵的半徑為：r =+ r =+ r =+ r = 7.633r
所以半球形碗的半徑需滿足r≤7.633r 。
說明：事實上，假設法並不是本題的主要解題方法，它僅僅是起到了引發思路的作用。本題主要解題方法是整體法與隔離法，屬於一道較難的平衡問題。
希望大家認真體會這道題目，複習整體法與隔離法。另外，設（tanα）而不求，在最後整理完再代入計算，以簡化解題步驟，也是值得我們借鑑學習的。
例4：如圖所示，正四面體abcd各面均為導體，但又彼此絕緣，已知帶電後四個面的電勢分別為φ1 ，φ2 ，φ3 ，φ4 ，求四面體中心點的電勢。
解析：保持四面體不動，假設按照一定方式調換四個面上的電荷，即假設四個面的電荷繞中心o轉動，結果會得到正四面體的四個面的若干帶電模式，由於轉動時並未改變各面電荷之間的相對位置（對稱性），所以各種模式在中心o點的電勢φ0都相同。現假設將四種模式疊加，則o點電勢應為4φ0 。
另一方面，四處模式疊加後，正四面體的每個面的電勢皆為φ1 + φ2 + φ3 + φ4 ，這時正四面體構成一近似封閉的等勢面，它所包圍的空間（其中無電荷）就近似為一等勢體，因此o點的電勢為φ1 + φ2 + φ3 + φ4 。
所以上分析得出：4φ0 = φ1 + φ2 + φ3 + φ4
所以中心點的電勢：φ0 = (φ1 + φ2 + φ3 + φ4)
（※）例5：有一半徑為r的不導電的半球薄殼，均勻帶電，倒扣在xoy平面上，如圖所示，圖中o為球心，abcd為球殼邊緣，aoc為直徑。有一帶電為q的點電荷位於oc上的e點，oe = r 。
已知將此點電荷由e點緩慢移至球殼頂點t時，外力需要做功w（w＞0），不計重力影響。
（1）試求將此點電荷由e點緩慢移至a點外力需做功的正負、大小，並說明理由；
（2）p為球心正下方的一點，op = r 。試求將此點電荷由e點緩慢移至p點，外力需做功的正負及大小，並說明理由。
解析：（1）假設取另一完全相同的帶電半球殼扣在題給的半球殼下面，構成乙個完整的地均勻帶電球殼，則球殼及其內部各點電勢都相等（場強為0），令u表示此電勢。根據對稱性可知，上下兩個半球殼分別在圓面abcd上各點引起的電勢是相等的，再由電勢疊加原理可知，當只有上半球殼存在時，圓面abcd上各點的電勢都應為完整球殼內電勢的一半，即，所以將電荷由e點移至a點的過程中，外力做功為零。
（2）對完整球殼，e點與t點等勢，電勢差為零。由電勢疊加原理可知，若上半球殼在t 、e兩點形成的電勢差為(ut－ue)，則下半球殼在t 、e兩點形成的電勢差必為－(ut－ue) 。已知w = q (ut－ue) 。
所以在下半球產生的電場中，q由e到t外力做功必為－w 。由對稱性可知，在上半球殼產生的電場中，q由e到p外力的功必為－w 。
說明：本題和上題都利用了對稱性，構思巧妙。特別是本題的假設方法，完美地結合了已知知識和對稱性，非常值得回味。
關於對稱性有一道經典題（白面書p463第10題），請結合這一題掌握「對稱性」的特點。
三、習題：
1、如圖，a 、b是靜止在水平地面上完全相同的兩塊長木板，a的左端和b的右端相接觸，兩板的質量皆為m = 2.0kg ，長度皆為l = 1.0m ，c是質量為m = 1.
0kg的小物塊。現給它乙個初速度v0 = 2.0m/s ，使它從板b的左端向右滑動，已知地面是光滑的，而c與板a、b之間的動摩擦因數皆為μ = 0.
10 ，求最後a 、b 、c各以多大的速度做勻速運動。取重力加速度g = 10m/s2 。
2、質量為m的物體a置於質量為m 、傾角為θ的斜面體b上，a 、b之間光滑接觸，b的底面與水平地面也是光滑接觸。設開始時a與b均靜止，而後a以某初速度沿b的斜面向上運動，如圖所示，試問a在沒有到達斜面頂部前是否會離開斜面？為什麼？
討論中不必考慮b向前傾倒的可能性。
3．半徑為r 、質量為m的三個相同的球放在水平桌面上，兩兩互相接觸。用乙個高為1.5r的圓柱形圓筒（上下均無底）將此三球套在筒內，圓筒的內徑取適當值，使得各球間以及球與筒壁之間均保持無形變接觸。
現取一質量亦為m 、半徑為r的第四個球，放在三球的上方正中。設四個球的表面、圓筒的內壁表現均由相同物質構成，其相互之間的最大靜摩擦係數為μ =（約等於0.775），問r取何值時，用手緩慢豎直向上提起圓筒即能將四個球一起提起來？
4、如圖所示，傾角為α的斜面和傾角為β的斜面具有共同的頂點p ，在頂點上安裝乙個輕質小滑輪，重量均為w的兩物塊a 、b分別放在兩斜面上，由一根跨過滑輪的細線連線著，已知傾角為α的斜面粗糙，物塊與斜面間摩擦因數為μ ；傾角為β的斜面光滑，為了使兩物塊能靜止在斜面上，試列出α 、β必須滿足的關係式。
答案：1、va =m/s ，vb =m/s ，vc = (1 +)m/s
2、不會離開 3、(－1)r＜r≤(－1)r 4、sinα－μcosα≤sinβ≤sinα + μcosα
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