題型一. 定義及其應用
例1.已知乙個動圓與圓相內切，且過點，求這個動圓圓心的軌跡方程
例2. 方程所表示的曲線是
練習：1.方程對應的圖形是（ ）
a.直線 b. 線段 c. 橢圓d. 圓
2.方程對應的圖形是（ ）
a.直線 b. 線段 c. 橢圓d. 圓
3.方程成立的充要條件是（ ）
a. b. c. d.
4.如果方程表示橢圓，則的取值範圍是
5.過橢圓的乙個焦點的直線與橢圓相交於兩點，則兩點與橢圓的另乙個焦點構成的的周長等於
6.設圓的圓心為，是圓內一定點，為圓周上任意一點，線段的垂直平分線與的連線交於點，則點的軌跡方程為
題型二. 橢圓的方程
（一）由方程研究曲線
例1.方程的曲線是到定點和的距離之和等於的點的軌跡；
（二）分情況求橢圓的方程
例2.已知橢圓以座標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，並且過點，求橢圓的方程；
（三）用待定係數法求方程
例3.已知橢圓的中心在原點，以座標軸為對稱軸，且經過兩點、，求橢圓的方程；
例4.求經過點且與橢圓有共同焦點的橢圓方程；
注：一般地，與橢圓共焦點的橢圓可設其方程為；
（四）定義法求軌跡方程；
例5.在中，所對的三邊分別為，且，求滿足且sinb，sina，sinc成等差數列時頂點的軌跡；
練習：1.三角形abc中，b（-2,0），c（2，0），ab、ac邊上的中線長之和為30，求三角形abc的重心的軌跡方程。
2.已知動圓c和定圓o：（x-3）2 +y2 = 64相內切，且a（3，0）在動圓c上，求動圓圓心的軌跡方程。
（五）相關點代入法求軌跡方程；
例6.已知軸上一定點a(2，-3)，為橢圓上任一點，求的中點的軌跡方程；
（六）直接法求軌跡方程；
例7.設動直線垂直於軸，且與橢圓交於兩點，點是直線上滿足的點，求點的軌跡方程；
（七）列方程組求方程
例8.中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫座標為，求此橢圓的方程；
題型三.焦點三角形問題
例1.已知橢圓上一點的縱座標為，橢圓的上下兩個焦點分別為、，求、及；
題型四.橢圓的幾何性質
例1.已知是橢圓上的點，的縱座標為，、分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的半焦距為，則的最大值與最小值之差為
例2.橢圓的四個頂點為，若四邊形的內切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率為 ；
例3.若橢圓的離心率為，則 ；
例4.若為橢圓上一點，、為其兩個焦點，且，，則橢圓的離心率為
題型五.求範圍
例1.方程表示準線平行於軸的橢圓，求實數的取值範圍；
題型六.橢圓的第二定義的應用
例1. 方程所表示的曲線是
例2.求經過點，以軸為準線，離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程；
例3.橢圓上有一點，它到左準線的距離等於，那麼到右焦點的距離為
例4．已知橢圓，能否在此橢圓位於軸左側的部分上找到一點，使它到左準線的距離為它到兩焦點距離的等比中項，若能找到，求出該點的座標，若不能找到，請說明理由。
例5．已知橢圓內有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點．求的最小值及對應的點的座標．
題型七.求離心率
例1. 橢圓的左焦點為，，是兩個頂點，如果到直線的距離為，則橢圓的離心率
例2.若為橢圓上一點，、為其兩個焦點，且，，則橢圓的離心率為
例3.、為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓於兩點，，且，則橢圓的離心率為 ；
題型八.橢圓引數方程的應用
例1. 橢圓上的點到直線的距離最大時，點的座標
例2.方程()表示焦點在軸上的橢圓，求的取值範圍；
題型九.直線與橢圓的關係（1）直線與橢圓的位置關係
例1. 當為何值時，直線與橢圓相切、相交、相離？
例2.曲線（）與鏈結，的線段沒有公共點，求的取值範圍。
例3.過點作直線與橢圓相交於兩點，為座標原點，求面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。
例4.求直線和橢圓有公共點時，的取值範圍
（二）弦長問題
例1.已知橢圓，是軸正方向上的一定點，若過點，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點的座標。
；例2.橢圓與直線相交於兩點，是的中點，
若，為座標原點，的斜率為，求的值。
例3.橢圓的焦點分別是和，過中心作直線與橢圓交於兩點，若的面積是20，求直線方程。
（三）弦所在直線方程
例1.已知橢圓，過點能否作直線與橢圓相交所成弦的中點恰好是；
例2.已知一直線與橢圓相交於兩點，弦的中點座標為，求直線的方程；
例3. 橢圓中心在原點，焦點在軸上，其離心率,過點的直線與橢圓相交於兩點，且c分有向線段的比為2.
（1）用直線的斜率表示的面積；
（2）當的面積最大時，求橢圓e的方程．
解：（1）設橢圓的方程為，由，∴a2=3b2
故橢圓方程；
設，由於點分有向線段的比為2．
∴，即由消去y整理並化簡得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0
由直線l與橢圓e相交於兩點
而 ⑥
由①④得:，代入⑥得：.
（2）因,
當且僅當取得最大值．
此時，又∵，∴；
將及代入⑤得3b2=5，∴橢圓方程．
例4.已知是橢圓上的三點，為橢圓的左焦點，且成等差數列，則的垂直平分線是否過定點？請證明你的結論。
（四）關於直線對稱問題
例1.已知橢圓，試確定的取值範圍，使得橢圓上有兩個不同的點關於直線對稱；
例2.已知中心在原點，焦點在軸上，長軸長等於6，離心率，試問是否存在直線，使與橢圓交於不同兩點，且線段恰被直線平分？若存在，求出直線傾斜角的取值範圍；若不存在，請說明理由。
題型十.最值問題
例1．若，為橢圓的右焦點，點m在橢圓上移動，求的最大值和最小值。
分析：欲求的最大值和最小值
可轉化為距離差再求。由此想到橢圓第一定義
,為橢圓的左焦點。
解：，連線，延長交橢圓於點m1,延長交橢圓於點由三角形三邊關係知
當且僅當與重合時取右等號、與重合時取左等號。
因為，所以,；
結論1：設橢圓的左右焦點分別為,為橢圓內一點，為橢圓上任意一點，則的最大值為,最小值為；
例2．,為橢圓的右焦點，點m在橢圓上移動，求的最大值和最小值。
分析：點在橢圓外，交橢圓於，此點使值最小，求最大值方法同例1。
解：，連線並延長交橢圓於點m1，
則m在m1處時取最大值；
∴最大值是10+，最小值是。
結論2設橢圓的左右焦點分別為，為橢圓外一點，為橢圓上任意一點，則的最大值為，最小值為;
2.二次函式法
例3．求定點到橢圓上的點之間的最短距離。
分析：在橢圓上任取一點，由兩點間距離公式表示，轉化為的函式求最小值。
解：設為橢圓上任意一點，
由橢圓方程知的取值範圍是
（1）若，則時，
（2）若,則時
（3）若,則
結論3：橢圓上的點到定點a(m,0)或b(0,n)距離的最值問題，可以用兩點間距離公式表示︱ma︱或︱mb︱，通過動點在橢圓上消去y或x,轉化為二次函式求最值，注意自變數的取值範圍。
3.三角函式法
例4．求橢圓上的點到直線的距離的最值；
解：三角換元 ∵ ∴令
則當時；當時,結論4：若橢圓上的點到非座標軸上的定點的距離求最值時,可通過橢圓的引數方程，統一變數轉化為三角函式求最值。
4.判別式法
例4的解決還可以用下面方法
把直線平移使其與橢圓相切，有兩種狀態，一種可求最小值，另一種求最大值。
解。令直線將代入橢圓方程整理得，由△=0解得, 時直線與橢圓切於點，
則到直線的距離為最小值，且最小值就是兩平行直線與的距離，
所以；時直線與橢圓切於點q，則q到直線l的距離為最大值，且最大值就是兩平行直線m與l的距離，所以。
結論5：橢圓上的點到定直線l距離的最值問題,可轉化為與l平行的直線m與橢圓相切的問題,利用判別式求出直線m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。
例5.已知定點，點為橢圓的右焦點，點在該橢圓上移動時，求的最小值，並求此時點的座標；（第二定義的應用）
例3．已知、分別為橢圓的左、右焦點，橢圓內一點的座標為，為橢圓上的乙個動點，試分別求：
（1）的最小值； （2）的取值範圍．
綜上可知，的取值範圍為;
三角形法：
橢圓（b2=5, a2>5）的左焦點為f，直線x=m於橢圓相交於點a,b,三角形fab的周長的最大值為12， 則該橢圓的離心率為
題型十一.軌跡問題
例1．到兩定點，的距離之和為定值5的點的軌跡是
a． 橢圓雙曲線直線線段
例2．已知點，點在圓的上半圓周上(即y＞0)，∠aop的平分線交於q，求點q的軌跡方程。
例3.已知圓及點，是圓c上任一點，線段的垂直平分線l與pc相交於q點，求q點的軌跡方程。
題型十二.橢圓與數形結合
例1．關於的方程有兩個不相等的實數解，求實數的取值範圍.
例2．求函式的最值。
橢圓典型題型歸納 學生版
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