第三次習題課資料（廣義積分和含參變數積分例題）一． 廣義積分例題
1. 判斷的收斂性.
解: 由，存在，使得當時，，
，直接比較法，收斂.
2. 判斷廣義積分的收斂性.
解: 廣義積分有兩個奇點和。將積分分為兩個部分，第乙個積分顯然收斂，對第二個積分令，
，收斂.
3. 討論的收斂性.
解: 對第乙個積分，與等價（），
收斂.對第二個積分，與進行比階，
因此，當時第二個積分收斂。
綜合上述分析，時積分收斂。
4. 判斷廣義積分的收斂性
解: ∽，收斂；
∽，收斂。
故收斂。
5. 判斷廣義積分的收斂性
解: ，∽，當時，收斂；
，∽，當時，收斂。
故當，時，收斂。
6. 判斷廣義積分的收斂性
解: ，∽，當時，收斂；
∽，當時，收斂。
故當時收斂。
7. 計算。
解: 取變換，
.8. 設常數,若,則 [ ]
解: ，.
9. 計算.
解: .
10. 求積分 。
解: ===.
11. 廣義積分
解: 取變換，則，
.12. 已知，求，及
解: 。
。13.
解： ， ~，發散，故發散。
14.解：，，
， ~，故時收斂；
時，絕對收斂，
時，條件收斂。
總之，時，條件收斂；時，絕對收斂。
15.解：，，由dirichlet判別法可知積分條件收斂。
16. 證明：若收斂，且存在極限則a=0
證：反證。假設，不妨設。由假設極限可知存在，使得， 當時。於是廣義積分發散，從而廣義積分發散。矛盾。證畢。
17. 證明：若在上可導，且與都收斂，則
。證由收斂知，任給，存在，當時，有
，即所以，存在，若記，則由上題知
18. 證明廣義積分
i) 當時發散；
ii) 當時條件收斂；
iii) 當時絕對收斂。
證：將被積函式作如下分解
。為敘述方便，記，，
則。以下討論廣義積分和的收斂性。
易證，廣義積分當時條件收斂（dirichlet判別法）；當時絕對收斂。
考慮討論廣義積分的收斂性。注意廣義積分的被積函式是非負的，它收斂等價於它
絕對收斂。我們分兩個情形討論。
情形一：。此時，對於，我們有。
顯然廣義積分收斂。由比較判別法可知廣義積分收斂，從而廣義積分的收斂（絕對收斂）。
情形二：。此時，不難廣義積分發散。這是因為，而顯然廣義積分發散，廣義積分收斂。因此廣義積分發散。綜上所述，我們就證明了
i)當時發散；
ii)當時條件收斂；
iii)當時絕對收斂。
19. 設絕對收斂，且，證明收斂。
證首先由，可知，，有，即當時，
成立。因為積分絕對收斂，於是由比較判別法，積分收斂。
20. 設單調下降，且，證明：若在上連續，則反常積分收斂。
證首先由分部積分法，
。由於有界，單調下降，且，由
dirichlet判別法，可知積分收斂，從而積分收斂。
二．含參變數積分例題
例.1 設, 求與.
解: 考慮矩形, 在矩形中, 連續,故
，。因此
。例.2 設，求。 解：
例.3 求
解: , 復合函式為變數的連續函式.
例.4 下述極限運算和積分運算能否交換順序?
解: 不能. 這是因為
而注意函式在點處不連續。
例.5 設，計算兩個累次積分與。
解： 。
與不相等。這表明兩個計累次積分相等是需要一定的條件。注意這裡函式於點處不連續。
例.6 計算積分
解：這是乙個正常積分。當時，積分為零。考慮當情形。
。以情代替當則得
。將上述兩式相加得
，。由此我們得
。函式在，連續，故
（注意這裡做了積分換元）
。例.7 設，證明函式在處的右導數。存在 ，並求。
解：函式和在點不連續，不能直接在積分號下求導。以下我們用右導數的定義來求。用分布積分法不難求得
考慮情形。對含參積分作分部積分得。於是
，（當）。因此函式在處的右導數存在，並且。
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