競賽講座07
--面積問題和面積方法
基礎知識
1．面積公式
由於平面上的凸多邊形都可以分割成若干三角形，故在面積公式中最基本的是三角形的面積公式．它形式多樣，應在不同場合下選擇最佳形式使用．
設△，分別為角的對邊，為的高，、分別為△外接圓、內切圓的半徑，．則△的面積有如下公式：
（1）；
（2）（3）
（4）（5）
（6）（7）
（8）（9）
2．面積定理
（1）乙個圖形的面積等於它的各部分面積這和；
（2）兩個全等形的面積相等；
（3）等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形等底應理解為兩底和相等）的面積相等；
（4）等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積的比等於其所對應的高（或底）的比；
（5）兩個相似三角形的面積的比等於相似比的平方；
（6）共邊比例定理：若△和△的公共邊所在直線與直線交於，則；
（7）共角比例定理：在△和△中，若或，則．
3．張角定理：如圖，由點出發的三條射線，設，，，則三點共線的充要條件是：
．例題分析
例1．梯形的對角線相交於，且，，求
例2．在凸五邊形中，設，求此五邊形的面積．
例3．是△內一點，鏈結並延長與分別交於，△、△、△的面積分別為40，30，35，求△的面積．
例4．分別是△的邊和上的點，且，求△的面積的最大值．
例5．過△內一點引三邊的平行線∥，∥，∥，點都在△的邊上，表示六邊形的面積，表示
△ 的面積．求證：．
例6．在直角△中，是斜邊上的高，過△的內心與△的內心的直線分別交邊和於和，△和△的面積分別記為和．求證：．
例7．銳角三角形中，角等分線與三角形的外接圓交於一點，點、與此類似，直線與、兩角的外角平分線將於一點，點、與此類似．求證：
（1）三角形的面積是六邊形的面積的二倍；
（2）三角形的面積至少是三角形的四倍．
例8．在△中，將其周長三等分，且在邊上，求證：．
例9．在銳角△的邊邊上有兩點、，滿足，作，（是垂足），延長交△的外接圓於點，證明四邊形與△的面積相等．
三．面積的等積變換
等積變換是處理有關面積問題的重要方法之一，它的特點是利用間面積相等而進行相互轉換證（解）題．
例10．凸六邊形內接於⊙，且，，求此六邊形的面積．
例11．已知的三邊，現在上取，在延長線上擷取，在上擷取，求證：．
例12．在內，且∽，求徵：
例13．在的三邊上分別取點，使，，連相交得三角形，已知三角形的面積為13，求三角形的面積．
例14．為圓內接四邊形的邊的中點，於，於，於，求證：平分．
例15．已知邊長為的，過其內心任作一直線分別交於點，求證：．
例16．正△正△，，，，，
，．求證：．
例17．在正內任取一點，設點關於三邊的對稱點分別為，則相交於一點．
例18．已知是正六邊形的兩條對角線，點分別內分，且使，如果三點共線，試求的值．
例19．設在凸四邊形中，直線以為直徑的圓相切，求證：當且僅當∥時，直線與以為直徑的圓相切．
訓練題1．設的面積為10，分別是邊上的點，且若，求的面積．
2．過內一點作三條平行於三邊的直線，這三條直線將分成六部份，其中，三部份為三角形，其面積為，求三角形的面積．
3．在的三邊上分別取不與端點重合的三點，求證：，中至少有乙個的面積不大於的面積的．
4．銳角的頂角的平分線交邊於，又交三角形的外接圓於，過作和邊的垂線和,垂足是，求證：四邊形的面積等於的面積．
5．在等腰直角三角形的斜邊上取一點，使，作交於，求證：．
6．三條直線互相平行，在的兩側，且間的距離為，間的距離為1，若正的三個頂點分別在上，求正的邊長．
7．已知及其內任一點，直線分別交對邊於（），證明：在這三個值中，至少有乙個不大於2，並且至少有乙個不小於2．
8．點和分別在的邊和上，點和將線段分為三等分，直線和分別與邊相交於點和，證明：．
9．已知p是內一點，延長分別交對邊於，其中，，且，求之值．
10．過點p作四條射線與直線分別交於和，求證：
．11．四邊形的兩對對邊的延長線分別交，過作直線與對角線的延長線分別，求證：．
12．為的重心，過作直線交於，求證：．
函式面積問題
1 已知直線y 3x 6，1 畫出函式影象，並求出一次函式影象與兩座標軸圍成的三角形面積 2 求直線y x 1與y軸圍成的三角形面積 3 求直線y x 1與x軸圍成的三角形面積 2 如圖，一次函式的影象與x軸交於點b 6，0 交正比例函式的影象於點a，點a的橫座標為 4，abo的面積為15，求直線o...
2 5 3面積問題
第課時教學目標 1 經歷分析具體問題中的數量關係 建立方程模型並解決問題的過程，認識方程模型的重要性，並總結運用方程解決實際問題的一般步驟 2 通過列方程解應用題，進一步提高邏輯思維能力和分析問題，解決問題的能力 教學重點和難點 重點 利用一元二次方程解決一些面積問題 難點 利用一元二次方程解決一些...
中考複習 面積問題
1 現有如圖 五邊形abcde是張大爺十年前承包的一塊土地示意圖，經過多年開墾荒地，現已變成如圖 的形狀，但承包土地與開墾土地之間的分界小路 即圖中的折線ea ab 還保留著，張大爺想過e點修一條直路直達bm，直路修好後，要保持左邊的土地面積與承包時一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多 請按...