平面向量
一．向量有關概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什麼？（向量可以平移）。
例：已知a（1,2），b（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移後得到的向量是_____
2．零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；
3．單位向量：長度為乙個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；
4．相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；
5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；
②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；
③平行向量無傳遞性！（因為有)；
④三點共線共線；
6．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
例：下列命題：（1）若，則。
（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。
（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______
二．向量的表示方法：
1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在後；
2．符號表示法：用乙個小寫的英文本母來表示，如，，等；
3．座標表示法：＝叫做向量的座標表示。
三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數、，使a=e1＋e2。
例：（1）若，則______
（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是（）
a. b.
c. d.
（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____
（4）已知中，點在邊上，且，，則的值是___
四．實數與向量的積：實數與向量的積是乙個向量，記作當》0時， 的方向與的方向相同，當<0時， 的方向與的方向相反，當＝0時，，注意： ≠0。
五．平面向量的數量積：
1．兩個向量的夾角：對於非零向量，，作， 稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。
2．平面向量的數量積： ＝。規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是乙個實數，不再是乙個向量。
例：（1）△abc中，，，，則_________
:（2）已知，與的夾角為，則等於____
（3）已知，則等於____
（4）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____
3．在上的投影為，它是乙個實數，但不一定大於0。
例：已知，，且，則向量在向量上的投影為______
4． 的幾何意義：數量積等於的模與在上的投影的積。
5．向量數量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：
①；②當為銳角時， ＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時， ＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；
③非零向量，夾角的計算公式：；④。
例：（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值範圍是______
（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值範圍是_________
（3）已知與之間有關係式，①用表示；②求的最小值，並求此時與的夾角的大小
六．向量的運算：
1．幾何運算：
①向量加法：設，；
②向量的減法：設，
例（1）化簡
（2）若正方形的邊長為1，，則＝_____
（3）若o是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為____
（4）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為___
（5）若點是的外心，且，則的內角為____
2．座標運算：設，則：
①向量的加減法運算：，。
例（1）已知點，，若，則當＝____時，點p在第
一、三象限的角平分線上
（2）已知，，則
（3）已知作用在點的三個力，則合力的終點座標是
②實數與向量的積：。
③若，則
例：設，且，，則c、d的座標分別是
④平面向量數量積：。
例:已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夾角；（2）若x∈，函式的最大值為，求的值
⑤向量的模：。
例：已知均為單位向量，它們的夾角為，那麼＝_____
⑥兩點間的距離：若，則。
例：如圖，在平面斜座標系中，，平面上任一點p關於斜座標系的斜座標是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則p點斜座標為。
（1）若點p的斜座標為（2，－2），求p到o的距離｜po｜；（2）求以o為圓心，1為半徑的圓在斜座標系中的方程。
七．向量的運算律：
1．交換律：，，；
2．結合律：，；
3．分配律：，。
例：下列命題中：①；②；③
；④ 若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______
提醒：（1）對於乙個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以乙個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以乙個向量，但不能兩邊同除以乙個向量，即兩邊不能約去乙個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的「乘法」不滿足結合律，即
八．向量平行(共線)的充要條件： ＝0。
例：(1)若向量，當＝_____時與共線且方向相同
（2）已知，，，且，則x＝______
（3）設，則k＝_____時，a,b,c共線
九．向量垂直的充要條件： .特別地。
例：(1)已知，若，則
（2）以原點o和a(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形oab，，則點b的座標是________
（3）已知向量，且，則的座標是________
十．線段的定比分點：
例：若點分所成的比為，則分所成的比為_______
3．線段的定比分點公式：設、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當＝1時，就得到線段pp的中點公式。
例：（1）若m（-3，-2），n（6，-1），且，則點p的座標為_______
（2）已知，直線與線段交於，且，則等於_______
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