統計學專業課讀書筆記
《統計學》（賈俊平）
1 引數估計
1.引數估計：統計推斷的重要內容之一，以抽樣和抽樣分布為基礎，用樣本統計量來估計未知總體引數。
2.估計量：估計總體引數的統計量。
3.估計值：用具體樣本計算出的估計量的值，即估計量的實現。
4.點估計：用某個估計值作為總體引數的估計。
5.區間估計：以點估計為基礎，給出總體引數估計的乙個區間範圍，由點估計量加減邊際誤差得到。能由抽樣分布給出估計量與總體引數接近程度的概率度量，即置信水平。
6.置信區間：總體引數的估計區間。統計學家在某種程度上確信它會包含總體引數真值，是隨機區間。
7.置信水平（置信度）：重複構造置信區間多次，其中包含總體引數真值的區間個數所佔的比例。它是針對隨機區間而言的。
8.估計量評價標準：無偏性、有效性、一致性。
9.理論基礎
①大數定律：揭示了大量隨機現象均值的穩定性。常見的有伯努利大數定律（頻率穩定性），辛欽大數定律（簡單隨機樣本均值依概率收斂於總體均值），切比雪夫大數定律。
是用樣本估計總體的理論基礎。
②中心極限定理：揭示了獨立同分布隨機變數之和的極限分布是正態分佈。常見的有伯努利試驗場合、獨立同分布試驗場合的中心極限定理。是區間估計和假設檢驗的理論基礎。
③抽樣分布基本定理（正態假定）
a.； b.；
c.與相互獨立； d.；
e.；f.。
10.單總體引數估計
①目標量：，，。
②影響因素：a.是否是正態總體；b.總體方差是否已知；c.是大樣本還是小樣本。
③抽樣分布
a.； b.
c.；d.。
11.兩總體引數估計
①目標量：，，。
②影響因素：a.是否是正態總體；b.兩總體總體方差是否已知、是否相等；c.是大樣本還是小樣本，兩樣本量是否相等；d.是獨立樣本還是匹配樣本。
③抽樣分布
a.；b.；
c.；d.；
e.；f.；
g.。12.確定樣本量：。
2 假設檢驗
1.假設檢驗：統計推斷的重要內容之一，先對總體引數提出乙個假設，然後利用樣本來檢驗該假設是否成立。
2.原假設與備擇假設：假設檢驗是圍繞原假設是否成立展開的，若拒絕原假設，就用備擇假設來替換。
推翻原假設需要樣本落入否定域，這是小概率事件，故在一次試驗中原假設具有優勢而備擇假設不易發生，一旦發生，我們就有足夠的理由推翻原假設，這意味著新結論的誕生。
3.棄真錯誤（錯誤）與取偽錯誤（錯誤）：前者是原假設為真卻被拒絕所犯的錯誤，後者是原假設為假卻沒被拒絕所犯的錯誤。
樣本量一定時，兩者是此消彼長的關係；若增大樣本量，則兩者同時變小。假設檢驗中遵循「首先控制犯錯誤」的原則。
4.小概率原理：發生概率很小的隨機事件在一次試驗中幾乎不可能發生。
5.統計量檢驗與p值檢驗
①否定域：由乙個直觀上有明確意義的統計量確定。
②p值：當原假設為真時，得到所觀測結果或更極端結果的概率。
③比較：統計量檢驗是先確定乙個顯著性水平從而獲得乙個否定域，進行決策的界限清晰但面臨的風險是籠統的，確定臨界值要查表，檢驗統計量一般與自由度有關因而可比性較差；p值是檢驗的真實顯著性水平，可利用p值直接決策或將p值與進行比較，不需要查表，具有可比性。
6.假設檢驗流程圖（見圖1）
3 方差分析
1.基本思想：表面上是檢驗多總體均值是否相等，本質上是研究變數間的關係，即通過各總體均值是否相等來判斷分型別自變數對數值型因變數是否有顯著影響，其中需要分析資料變異的**。
觀察到的資料一般是參差不齊的，我們用sst度量資料總的變異，將它分解為可追溯到**的部分變異sse與ssa之和，若後者的平均msa明顯比前者的平均mse大，
圖1就認為自變數對因變數有顯著影響。在方差分析的基本假定下，上述問題形式上就轉化為檢驗各總體均值是否相等的問題。
2.基本假定：a.各總體服從正態分佈；b.各總體方差相同；c.各觀測值相互獨立。
3.方差分析與兩兩均值檢驗：兩兩均值檢驗會增加犯第ⅰ累錯誤的概率（），而且隨著檢驗次數的增多，偶然因素導致差別的可能性也會增加；方差分析是同時考慮所有樣本，排除了錯誤的累積，減少了偶然因素的不利影響，也簡化了檢驗的過程。
4.單因素方差分析
①資料結構
表1 ②方差分析模型
由基本假定， 令有
令總均值
有稱為第個水平的效應
得單因素方差分析模型
③步驟 a.提出假設：；
b.構造檢驗統計量：；
c.統計決策。
④方差分析表
表25.有互動作用的雙因素方差分析（等重複試驗情況）：
①資料結構（見表3）
②方差分析模型
由基本假定， 令有
表3令令行、列、互動效應
得有互動作用因素方差分析模型
③原假設與檢驗統計量
6.無互動作用的雙因素方差分析
①資料結構（見表4）
②方差分析模型
由基本假定， 令表4
有令令行、列、互動效應
得無互動作用因素方差分析模型
③原假設與檢驗統計量
7.多重比較：當方差分析拒絕原假設時，為進一步分析到底是哪些均值不相等，於是將各均值配對檢驗，但檢驗統計量不是t統計量。
8.試驗設計
①含義：收集樣本的計畫，通過科學安排試驗，用盡可能少的試驗獲得盡可能多的資訊。主要資料分析方法是方差分析。
②完全隨機化設計：將各種處理隨機指派給試驗單元。資料分析方法是單因素方差分析。
③隨機化區組設計：將試樣單元劃分為若干區組，再將各種處理隨機指派給各區組。劃分區組可消除試驗單元的差異造成的影響。
因每個區組只做一次試驗，故只能採用無互動作用雙因素方差分析方法。
④因子設計：考慮兩個或多個因素搭配的試驗設計，每種搭配可重複試驗。資料分析方法是有互動作用雙因素方差分析。
4 資料整理與展示
1.資料型別與圖示法
圖22.幾種圖示法的比較
①條形圖與直方圖：前者用長度表**數（率），寬度固定，各矩形分開排列，主要展示分類資料；後者用面積表示頻數（率），寬度為組距，各矩形連續排列，主要展示數值型資料。
②莖葉圖與直方圖：前者類似於橫直直方圖，既能展示資料分布狀況，又保留了原始資料，適用於小批量資料；後者也能很好顯示資料分布狀況，但不能保留原始資料，適用於大批量資料。
③餅圖與環形圖：前者只能顯示乙個樣本或總體的比例資料；後者可以同時顯示多個樣本或總體的比例資料，有利於比較。
5 資料分布特徵
1. 描述統計量（見圖3）
2.眾數、中位數、平均數的比較
①眾數：一組資料分布的峰值，不受極端值影響，不具有唯一性，沒有利用全部資料，適用於較大量的分類資料。
②中位數：一組資料中間位置的代表值，不受極端值影響，只利用了乙個資料，資訊
圖3浪費嚴重，適用於偏斜度較大的順序資料。
③平均數：一組資料的重心，應用最廣泛的集中趨勢測度值，具有優良的數學性質，是統計推斷的基礎，利用了全部資料，易受極端值影響，適用於偏斜度不大的數值型資料。
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