3. 2直線的方程
1. 知識與技能
(1)通過本節的學習, 掌握由直線上一點和斜率求出直線的方程或由斜率和截距寫出直線的方程的方法, 並能由直線的方程求斜率和截距.
(2)通過本節的學習, 我們將學會利用兩點的座標求直線的方程, 或利用直線的截距式求直線的方程.
(3)通過本節的學習, 我們可以把前面學習的四種直線方程用統一的形式來表示, 並能研究平面上的直線與二元一次方程之間的關係.
2. 過程與方法
(1)教材先由斜率公式匯出直線的點斜式, 並對各種特殊形式進行了研究, 再由點斜式經過變形, 匯出斜截式, 並對它們的應用進行了簡單的研究.
(2)利用點斜式方程和斜率公式可以推導出兩點式方程, 再由兩點式方程推導截距式方程. 同時研究了各種特殊情況, 並通過例題補充了中點座標公式.
(3)通過直線的方程可以看出它們都是關於貿、y的一次方程, 教材研究了二元一次方程都表示一條直線這個問題, 從而得到了直線方程的一般式, 然後課本給出了它的應用.
3. 情感、態度與價值觀
通過本節的學習, 進一步培養學習數學的興趣, 體驗事物之間都是普遍聯絡的這一辯證唯物主義的理論的正確性.
1 能力聚焦
1. 直線的點斜式方程
一般地, 如果一條直線上任一點的座標(x, y)都滿足乙個方程, 且滿足該方程的每乙個數對(x, y)所確定的點都在直線l上, 我們就把這個方程稱為直線l的方程. 如果已知直線l上一點p(x0, y0)及斜率k, 可用上述方法求出直線l的方程.
如圖3-2-l, 設q(x, y)是直線l上不同於p的任一點, 由於p、q都在l上, 所以可用p、q的座標來表示直線l的斜率, 於是可得以下方程:
當直線l與x軸垂直時, 斜率k不存在. 如果l1, 經過點p(x0, y0), 且與x軸垂直, 則它的特點是l1上任意一點的橫座標都是x0 , 所以直線l1的方程為x= x0, 如圖3-2-2所示. 若直線l2經過點p(x0, y0)且與y軸垂直, 則直線易上任意一點的縱座標都是y0 所以直線l2的方程為y= y0, 如圖3-2-2所示.
2. 直線的斜截式方程
(1)方程的形式:, 其中b為直線在x軸上的截距， 即直線過點(0, b) (br), 斜率為b, 即由兩個獨立條件、兩個未知量確定.
(2)推導方法: 把點斜式方程中所過的點取為直線與y軸的交點p(0, b), 代入點斜式即可. 它較點斜式方程少了乙個字母, 幾何意義體現得更為充分, 是求直線方程的常選形式.
(3)適用範圍: 由推導過程知斜截式方程是點斜式方程的特殊情況, 故也不包含垂直戈軸的直線.
3. 直線的兩點式方程
如果直線l經過兩點p1(x1 , y1)、p2(x2, y2)( x1 ≠y1且y1≠y2), 則直線l的斜率為, 由直線的點斜式方程得
若x1=x2, 知p1p2與x軸垂直, 此時的直線l的方程為x=xl.
若yl=y2, 知p1p2與y軸垂直, 此時的直線l的方程為y=y1.
另外, 我們也可以按下面的思路推導.
設p(x, y)是直線l上異於點p1、p2的任意一點, 由於點p、p1、p2都在直線l上, 則kpp1=kp1p2,即, 整理得
5. 直線的一般式方程
(1)方程的形式：
(2)適用範圍: 平面直角座標系中, 任何一條直線都可用一般式表示.
(3)幾何意義:
①當b≠0時, 則, (斜率), (y軸上的截距)
②當b=0, a≠0時, 則(x軸上的截距)
【例題1】 寫出下列直線的點斜式方程.
(1)經過點a(2, 5), 斜率是4；
(2)經過點b(2, 3). 傾斜角為45。；
(3)經過點c(-1, 1), 與x軸平行；
(4)經過點d(1, 1)與x軸垂直.
【例題2】寫出下列直線的斜截式方程:
(1)斜率是2, 在y軸上的截距是-3；
(2)傾斜角是60。, 在y軸上的截距是6；
(3)傾斜角是30。, 在y軸上的截距是0.
【例題3】已知直線l1的方程為y =-2x+3, l2的方程為y=4x-2, 直線l與l1, 平行且與l2 在y軸上的截距相同, 求直線l的方程.
【例題4】 已知△abc三個頂點座標a(2, -1)、b(2, 2)、c(4, 1), 求三角形三條邊所在的直線方程.
【例題5】求過點a(1, 1), 且在兩座標軸上截距相等的直線方程.
【例題6】根據下列條件寫出直線方程, 並把它化成一般式.
(1)過點a(-2, 3), 斜率為
(2)在x軸, y軸上的截距分別為-3和4.
2 技巧平台
6. 直線方程幾種形式的再認識和理解
(1)建立點斜式方程的依據是: 直線上任一點與這條直線上乙個定點的連線的斜率相同, 故有, 此式是不含點p1(x1, y1)的兩條反向射線的方程, 必須化為y-y1=k(x-x1)才是整條直線的方程. 當直線的斜率不存在時.
不能用點斜式表示, 此時方程為x=x1
(2)斜截式方程可看做點斜式的特殊情況, 表示過(0, b)點、斜率為k的直線y-b=k(x-0), 即y=k+6, 其特徵是方程等號的一端只是乙個y, 其係數是l；等號的另一端是x的一次式, 而不一定是x的一次函式. 如y=c是直線的斜截式方程, 而2y=3x+4不是直線的斜截式方程.
(3)直線的兩點式方程的條件是x1≠x2, y1≠y2
(4)直線的截距式是過(a, 0)、(0, b)(a≠0, b≠0)兩點的兩點式, 用截距式最便於作圖, 要注意截距是座標而不是長度, 且當直線的斜率不存在或為0或直線過原點時, 直線不能用截距式表示.
7. 直線方程形式的靈活選擇技巧
(1)直線方程的幾種特殊形式都有其使用的侷限性. 如對於點斜式和斜截式要求直線的斜率存在, 因此, 如果選用點斜式或斜截式, 應考慮斜率不存在的情況；對於兩點式. 它除了不能表示平行或重合於座標軸的直線外, 還不能表示過原點的直線.
那麼, 如何根據題設奈件, 靈活選用直線方程的形式來求直線方程呢?
一般的，一直一點通常選擇點斜式; 一直斜率選擇斜截式或點斜式；一直截距活兩點選擇截距式或兩點式，另外，從所求的結論來看，若求直線與座標軸圍成的三角形面積或周長，則應選用截距式。
(2)待定係數法是求直線方程最基本、最常用的的方法. 但要注意選擇形式. 一般地, 已知一點就待定斜率k, 但應注意討論當斜率k不存在時的情形.
如果已知斜率k, 一般選擇斜截式, 待定縱截距b；如果已知直線與座標軸圍成三角形的問題就選擇截距式, 待定橫截距和縱截距. 一般說來, 待定幾個係數就應列出幾個方程. 有的直線方程可以同時選用幾種形式, 但選擇的形式不同, 運算繁簡程度就不同.
(3)任意法: 如點斜式方程的推導方法, 常用在曲線方程還不能確定的情況下.
步驟: ①在所求直線上上任取一點p(x, y)；
②根據條件和性質建立與點p有關的關係式:
③再將關係式座標化；
④化簡整理成x,y的關係；
⑤檢驗完備性和純粹性.
8. 直線方程形式之間的轉換方法
把直線ax+by+c=0 (a、b、c≠0)化為下面形式:
(1)化為截距式: ax+by=-c,
即;(2)化為斜截式:;
(3)化為點斜式: 先求出直線過定點, k=, 則點斜式為
(4)在一般式中,
若a=0, 則, 它表示一條與y軸垂直的直線；
若b=0, 則, 它表示一條與x軸垂直的直線.
由於直線上可任意取兩點, 因此, 一般式轉化為兩點式其形式不唯一, 故很少將直線方程的其他形式轉化為兩點式.
9. 直線和二元一次方程的關係
因為在直角座標系中, 每一條直線都有傾斜角a
(1)當a≠90。, 如圖3-2-3, 直線斜率存在, 其方程可寫成y=kx+b,
它可變形為kx-y+b=0, 與二元一次方程一般形式比較,
有a=k, b=-1. c=b.
(2)當a=90。時, 如圖3-2-4, 直線斜率不存在, 其方程可寫成x=x1比較有a=l, b=0, c=-x1(顯然a、b不同時為0).
所以, 在平面直角座標系中, 任何一條直線都有乙個表示這條直線的關於x、y的二元一次方程.
反過來, 任何關於x、y的二元一次方程都能表示一條直線嗎?
二元一次方程的一般形式(*), 其中a、b不同時為0.
①當b≠0時, 方程(*)可化為(斜截式方程), 它表示斜率為, 在y軸上截距為直線.
②當b=0時, 由於a、b不同時為0, 必有a≠0, 方程(*)可化為x=, 它表示一條與y軸平行或重合的直線.
所以在平面直角座標系中, 任何關於x,y的二元一次方程都表示一條直線.
由此匯出概念, 方程(其中a, b不同時為0)叫做直線的一般式方程.
這種討論方法為解析幾何中曲線與方程的研究奠定了基礎, 也為數形結合的應用提供了理論依據, 因此, 必須認真體會與思考.
【例題7】 已知直線l經過點a(4, -3), 並且在兩座標軸上的截距的絕對值相等, 求直線l的方程.
【例題8】過點a(1, 4)且在x軸、y軸上的截距的絕對值相等的直線共有( ).
a. 1條 b. 2條 c. 3條 d. 4條
【例題9】過點p(2, 1)作直線l分別交x、y軸的正半軸a, b兩點.
(1)當取得最小值時, 求直線l的方程；
(2)當取得最小值時, 求直線l的方程.
[本題將用到公式, 當且僅當a=b時, 取「=」號]
3 思維拓展
10. 平行直線系
一條直線的確定需要兩個獨立條件. 具有某個獨立條件的所有直線的集合, 稱為直線系. 它的方程稱為直線系方程.
如: y-3=k(x+2)就是過點p(-2, 3)且不垂直於x軸的所有直線；又如: y=3x+b(b∈r)表示斜率為3的一
組平行直線.
把平面內具有相同方向(即方位確定)的直線的全體稱為平行直線系. 平行直線系的斜率確定. 如:
與圖3-2-5中l: y=-x+1平行的所有直線的直線系方程為y=-x+b(b∈r).
11. 中心直線系
把平面上恆過定點的直線的全體稱為中心直線系. 中心直線系所過的一點確定. 如: 圖3-2-6中恆過點p(-1, 2)的所有直線的直線系方程為y-2=k(x+1), 或x=-1.
高二數學複習知識點
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