第一章集合與函式概念
一、集合有關概念 1、集合的含義:某些指定的物件集在一起就成為乙個集合,其中每乙個物件叫元素。 2、集合的中元素的三個特性:
1.元素的確定性; 2.元素的互異性;3.
元素的無序性 .第一章集合與函式概念
一、集合有關概念
1、集合的含義:某些指定的物件集在一起就成為乙個集合,其中每乙個物件叫元素。
2、集合的中元素的三個特性:
1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性
說明:(1)對於乙個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
(2)任何乙個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的物件,相同的物件歸入乙個集合時,僅算乙個元素。
(3)集合中的元素是平等的,沒有先後順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示: 如,
1. 用拉丁字母表示集合:a=b=
2.集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意啊:常用數集及其記法:
非負整數集(即自然數集) 記作:n
正整數集 n*或 n+ 整數集z 有理數集q 實數集r
關於「屬於」的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就說a屬於集合a 記作 a∈a ,相反,a不屬於集合a 記作 a?a
列舉法:把集合中的元素一一枚舉出來,然後用乙個大括號括上。
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法。
①語言描述法:例:
②數學式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是或
4、集合的分類:
1.有限集含有有限個元素的集合
2.無限集含有無限個元素的集合
3.空集不含任何元素的集合例: b= 「元素相同」
結論:對於兩個集合a與b,如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素,同時集合b的任何乙個元素都是集合a的元素,我們就說集合a等於集合b,即:a=b
① 任何乙個集合是它本身的子集。a?a
②真子集:如果a?b且a? b那就說集合a是集合b的真子集,記作a b(或b a)
③如果 a?b b?c 那麼 a?c
④ 如果a?b 同時 b?a 那麼a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1.交集的定義:一般地,由所有屬於a且屬於b的元素所組成的集合叫做ab的交集.
記作a∩b(讀作」a交b」),即a∩b=.
2、並集的定義:一般地,由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合,叫做ab的並集。記作:a∪b(讀作」a並b」),即a∪b=.
3、交集與並集的性質:a∩a = a a∩φ= φ a∩b = b∩a,a∪a = a
a∪φ= a a∪b = b∪a.
4、全集與補集
(1)補集:設s是乙個集合,a是s的乙個子集(即 ),由s中所有不屬於a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補集(或餘集)
記作: csa 即 csa =
(2)全集:如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作乙個全集。通常用u來表示。
(3)性質:⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u
二、函式的有關概念
1.函式的概念:設a、b是非空的數集,如果按照某個確定的對應關係f,使對於集合a中的任意乙個數x,在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:a→b為從集合a到集合b的乙個函式.記作:
y=f(x),x∈a.其中,x叫做自變數,x的取值範圍a叫做函式的定義域;與x的值相對應的y值叫做函式值,函式值的集合叫做函式的值域.
三角函式公式
兩角和公式
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)
ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga) ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)
倍角公式
tan2a=2tana/(1-tan2a) ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半形公式
sin(a/2)=√((1-cosa)/2) sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)
cos(a/2)=√((1+cosa)/2) cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)
tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))
ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))
和差化積
2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b) 2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)
2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b) -2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)
sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2 cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb
ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb -ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb
某些數列前n項和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r 注: 其中 r 表示三角形的外接圓半徑
餘弦定理 b2=a2+c2-2accosb 注:角b是邊a和邊c的夾角
弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r
乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根與係數的關係 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注:韋達定理
判別式b2-4ac=0 注:方程有兩個相等的實根
b2-4ac>0 注:方程有兩個不等的實根
b2-4ac<0 注:方程沒有實根,有共軛複數根
降冪公式
(sin^2)x=1-cos2x/2
(cos^2)x=i=cos2x/2
萬能公式
令tan(a/2)=t
sina=2t/(1+t^2)
cosa=(1-t^2)/(1+t^2)
tana=2t/(1-t^2)
§1.2.1、函式的概念
1、 設a、b是非空的數集,如果按照某種確定的對應關係,使對於集合a中的任意乙個數,在集合b中都有惟一確定的數和它對應,那麼就稱為集合a到集合b的乙個函式,記作:.
2、 乙個函式的構成要素為:定義域、對應關係、值域.如果兩個函式的定義域相同,並且對應關係完全一致,則稱這兩個函式相等.
§1.2.2、函式的表示法
1、 函式的三種表示方法:解析法、圖象法、列表法.
§1.3.1、單調性與最大(小)值
1、 注意函式單調性證明的一般格式:
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地,如果對於函式的定義域內任意乙個,都有,那麼就稱函式為偶函式.偶函式圖象關於軸對稱.
2、 一般地,如果對於函式的定義域內任意乙個,都有,那麼就稱函式為奇函式.奇函式圖象關於原點對稱.
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