第一課時
一、函式的概念
設集合a是乙個非空的數集，對a中的任意數x，按照確定的法則，都有唯一確定的數y與它對應，則這種對應關係叫做集合a上的乙個函式。記作。其中x叫做自變數，自變數取值的範圍（數集a）叫做這個函式的定義域；如果自變數取值a,則有法則確定的值y稱為函式在a處的函式值，記作，所有函式值構成的集合叫做這個函式的值域。
二、區間的概念
在研究函式時,常常用到區間的概念，它是數學中常用的述語和符號.
設a,br ,且a①滿足不等式axb的實數x的集合叫做閉區間，表示為[a,b]；
②滿足不等式a③滿足不等式ax這裡的實數a和b叫做相應區間的端點.
在數軸上，這些區間都可以用一條以a和b為端點的線段來表示，在圖中，用實心點表示包括在區間內的端點，用空心點表示不包括在區間內的端點：
這樣實數集r也可用區間表示為(-,+),「」讀作「無窮大」，「-」讀作「負無窮大」，「+」讀作「正無窮大」.還可把滿足xa，x>a，xb，x注意：書寫區間記號時：
①有完整的區間外圍記號（上述四者之一）；
②有兩個區間端點，且左端點小於右端點；
③兩個端點之間用「，」隔開.
三、判斷是否為同一函式
四、求函式值（常函式、分段函式、復合函式）
已知第二課時
解決函式定義域問題、定義域的表達形式
一、給出具體函式求定義域的方法
其解法是由解析式有意義列出關於自變數的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函式的定義域。
求用解析式y=f(x)表示的函式的定義域時，常有以下幾種情況：
①若f(x)是整式，則函式的定義域是實數集r；
②若f(x)是分式，則函式的定義域是使分母不等於0的實數集；
③若f(x)是偶次根式，則函式的定義域是使根號內的式子大於或等於0的實數集合；
④若f(x)是對數的真數大於零,底數大於零且不等於1。零指數冪的底數均不能為零；
⑤若f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，則函式的定義域是使各部分式子都有意義的實數集合；分段函式的定義域就是各段的並集。
⑥若f(x)是由實際問題抽象出來的函式，則函式的定義域應符合實際問題.
1、求函式的定義域。
解：要使函式有意義，則必須滿足
由①解得或
由②解得或 ④
③和④求交集得且或x>5。
故所求函式的定義域為。
2、要使函式有意義，必須： 即：
∴函式的定義域為：
3、要使函式有意義，必須：
∴定義域為：
4、要使函式有意義，必須：
∴函式的定義域為：
5、要使函式有意義，必須
∴定義域為：
6、要使函式有意義，必須：
即 x< 或 x> ∴定義域為：
7、求函式y＝的定義域
解：要使函式或有意義，只需
∴ 函式定義域為
二、抽象函式定義域的求法
1、已知的定義域，求的定義域。
其解法是：已知的定義域是［a，b］求的定義域是解，即為所求的定義域。
已知的定義域為［－2，2］，求的定義域。
解：令，得，即，因此，從而，故函式的定義域是。
若函式的定義域為[1，1]，求函式的定義域。
解：要使函式有意義，必須：
∴函式的定義域為：
設的定義域是[3，]，求函式的定義域。
解：要使函式有意義，必須： 得：
∵≥0∴ 函式的定域義為：
2、已知的定義域，求f(x)的定義域。
其解法是：已知的定義域是［a，b］，求f(x)定義域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定義域。
例4 已知的定義域為［1，2］，求f(x)的定義域。
解：因為。
即函式f(x)的定義域是。
3、引數型
對於含引數的函式，求定義域時，必須對引數的取值範圍進行進行分類討論。
例9 已知的定義域為［0，1］，求函式的定義域。
解：因為的定義域為［0，1］，即。故函式的定義域為下列不等式組的解集：
，即即兩個區間［－a，1－a］與［a，1+a］的交集，比較兩個區間左、右端點，知
（1）當時，f（x）的定義域為；
（2）當時，f（x）的定義域為；
（3）當或時，上述兩區間的交集為空集，此時f（x）不能構成函式。
求函式y＝lg(ax－k·2x＞0，即ax＞k·2x
∵ 2x＞0 ∴ ＞k，即()x＞k
(1)若k≤0， ∵ ()x＞0 對一切x∈r成立
∴ ()x＞k恆成立，故當k≤0時，定義域為r
(2)若k＞0
①當0＜＜1時，即0＜a＜2且a≠1時，x＜k，定義域為
②當＞1，即a＞2時，x＞k，定義域為
③當a＝0時，有1x＞k
<1> 若k≥1，定義域為φ
<2> 若0＜k＜1，定義域為r
說明：當字母引數對問題的結論有直接影響時，必須對字母引數進行討論，討論的原則是：
1）對全體物件的分類必須做到「不重複，不遺漏」，如此題中的k∈r和a＞0且a≠1；
2）討論只能按同一標準合理分層次進行，此題中含有兩個引數k和a，首先確定第一層分為k≤0與k＞0，即在確定出乙個引數範圍的前提下再對另乙個引數a進行分類，字母a的分類又是依據函式的性質和不等式運算性質的需要。
4、實際問題型
這裡函式的定義域除滿足解析式外，還要注意問題的實際意義對自變數的限制，這點要加倍注意，並形成意識。
例7 將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關於一邊長x的函式的解析式，並求函式的定義域。
解：設矩形一邊為x，則另一邊長為於是可得矩形面積。
。由問題的實際意義，知函式的定義域應滿足
。故所求函式的解析式為，定義域為（0，）。
例8 用長為l的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函式關係式，並求定義域。
解：由題意知，此框架圍成的面積是由乙個矩形和乙個半圓組成的圖形的面積，如圖。
因為cd=ab=2x，所以，所以，
故根據實際問題的意義知
故函式的解析式為，定義域（0，）。
例4 關徑為r的圓內接等腰梯形abcd，它的下底ab是圓o的直徑，上底cd的端點在圓周上，寫出這個梯形周長y和腰長x間的函式式，並求出它的定義域。
ad2＝ae·ab
∴ ae＝， cd＝ab－2ae＝2r－
∴ y＝2r＋2x＋(2r－)即y＝－＋2x＋4r
由 ，∴ 函式的定義域是（0，r）
5、隱含型
有些問題從表面上看並不求定義域，但是不注意定義域，往往導致錯解，事實上定義域隱含在問題中，例如函式的單調區間是其定義域的子集。因此，求函式的單調區間，必須先求定義域。
例10 求函式的單調區間。
解：由，即，解得。即函式y的定義域為（－1，3）。
函式是由函式復合而成的。
，對稱軸x=1，由二次函式的單調性，可知t在區間上是增函式；在區間上是減函式，而在其定義域上單調增；
，所以函式在區間上是增函式，在區間上是減函式。
三、已知定義域為r,求引數範圍問題
即已知所給函式的定義域求解析式中引數的取值範圍。特別是對於已知定義域為r，求引數的範圍問題通常是轉化為恆成立問題來解決。
例1 已知函式的定義域為r求實數m的取值範圍。
分析：函式的定義域為r，表明，使一切x∈r都成立，由項的係數是m，所以應分m=0或進行討論。
解：當m=0時，函式的定義域為r；
當時，是二次不等式，其對一切實數x都成立的充要條件是
綜上可知。
評注：不少學生容易忽略m=0的情況，希望通過此例解決問題。
例2 已知函式的定義域是r，求實數k的取值範圍。
解：要使函式有意義，則必須≠0恆成立，因為的定義域為r，即無實數
①當k≠0時，恆成立，解得；
②當k=0時，方程左邊=3≠0恆成立。
綜上k的取值範圍是。
例3若函式的定義域是r，求實數a 的取值範圍。
解：∵定義域是r,∴
∴四、函式定義域的應用：
一般在解答下列問題時，必須要考慮函式的定義域。
（1）研究函式的值域，必須先考慮定義域
例函式y＝1－的值域是
解：由1－x2≥0得 －1≤x≤1，從而0≤1－≤1
所以 y＝1－的值域是[0，1]
（2）求函式的反函式，必先考慮定義域。
例函式y＝(x≤－1)的反函式是。
解：由x2＝1＋y2 得 x＝± 又因 x≤－1
∴ f－1(x)＝－（x≥0)
（3）求函式最值，要考慮定義域
例函式f(x)＝(ex－a)2＋(e-x－a)2 (0＜a＜2)的最小值為
解：∵ f(x)＝(ex－a)2＋(e-x－a)2
ex)2＋a2－2aex＋(e-x)2－2ae-x＋a2
ex＋e-x－a)2＋a2－2(x∈r)
由 ex＋e-x≥2，（等號在ex＝e-x即x＝0時成立）
知 f(x)min＝(2－a)2＋a2－2＝2(a－1)2
（4）求函式的單調區間，必須先考慮定義域。
例函式y＝log2(1＋2x－3x2)的單調減區間為
解：由1＋2x－3x2＞0 解得－＜x＜1
又u＝1＋2x－3x2＝－3(x－)2＋ 當x∈(，＋∞)時u遞減
所以 y＝log2(1＋2x－3x2)的單調減區間是（，1）
（5）解某些方程（無理方程，分式方程，對數方程等）要考慮定義域
例方程log2(x－3)＝log4(5－x)的解是
解：原方程等價於
原方程的解是x＝4
（6）解不等式要考慮定義域
例不等式＞x＋1的解集為
解：原不等式等價於
分別解得－≤x＜－1或－1≤x＜2
∴ 原不等式的解集為[－，2]
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1 在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成了平面直角座標系 2 座標平面上的任意一點p的座標，都和惟一的一對有序實數對 一一對應 其中，為橫座標，為縱座標座標 3 軸上的點，縱座標等於0 軸上的點，橫座標等於0 座標軸上的點不屬於任何象限 4 四個象限的點的座標具有如下特徵 小結 1 點p 所...