1．先化簡：，再選乙個使原式有意義的數代入求值。
解： 2.解分式方程：
解：3．如圖，已知直線與雙曲線交於兩點，且點的橫座標為．
（1）求的值；
解：（2）若雙曲線上一點的縱座標為8，求的面積；
解：（3）過原點的另一條直線交雙曲線於兩點（點在第一象限），若的面積為，求點的座標．
解：4．某班為開展「迎冬奧會」的主題班會活動，派了兩位同學去學校附近的超市購買鋼筆作為獎品．已知該超市的甲種鋼筆每支8元，乙種鋼筆每支4.8元，他們要購買這兩種鋼筆共40支．
（1）如果兩人一共帶了240元，全部用於購買獎品，那麼能買這兩種筆各多少支？
解：（2）根據主題班會活動的設獎情況，決定所購買的甲種鋼筆的數量要少於乙種鋼筆的數量的，但又不少於乙種鋼筆的數量的．如果他們買了甲種鋼筆支，買這兩種筆共花了元．
①請寫出（元）關於（支）的函式關係式，並求出自變數的取值範圍；
解：②請幫他們計算一下，這兩種筆各購買多少支時，所花的錢最少，此時花多少元？
解： 5．如圖1，點將線段分成兩部分，如果，那麼稱點為線段的**分割點．
某研究小組在進行課題學習時，由**分割點聯想到「**分割線」，類似地給出
「**分割線」的定義：直線將乙個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那麼稱直線為該圖形的**分割線．
（1）研究小組猜想：在中，若點為邊上的**分割點（如圖2），則直線是的**分割線．你認為對嗎？為什麼？
（2）研究小組在進一步**中發現：過點任作一條直線交於點，再過點作直線，交於點，連線（如圖3），則直線也是的**分割線．請你說明理由．
圖1圖2圖3
解：（1）
（2）6．已知點c為半圓上一點，且弧ac=弧ce，過點c作直徑ab的垂線cp，p為垂足，弦ae分別交pc、cb於點d、f．
（1）求證：ad=dc；
證明：（2）若df=，tan∠ecb=，求pb的長．
解：7.拋物線過點，頂點為m點．
（1）求該拋物線的解析式．
解：（2）試判斷拋物線上是否存在一點p，使∠pom＝90．若不存在，說明理由；
若存在，求出p點的座標．
解：（3）試判斷拋物線上是否存在一點k，使∠omk＝90，若不存在，說明理由；
若存在，求出k點的座標．
解：8. 如圖，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠c＝90°，bc＝16，dc＝12，ad＝21。
動點p從點d出發，沿射線da的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點q從點c出發，**段cb上以每秒1個單位長的速度向點b運動，點p，q分別從點d，c同時出發，當點q運動到點b時，點p隨之停止運動。設運動的時間為t（秒）。
（1）設△bpq的面積為s，求s與t之間的函式關係式；
（2）當t為何值時，以b、p、q三點為頂點的三角形是等腰三角形？
（3）當線段pq與線段ab相交於點o，且2ao＝ob時，求∠bqp的正切值；
（4）是否存在時刻t，使得pq⊥bd？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由。
解：解答
1．先化簡再選乙個使原式有意義的數代入求值。
解：2分）
4分）取和2以外的任何數，計算正確都可給分． ……………（6分）
2．解分式方程：
解：方程兩邊同時乘以，得
或4分）
經檢驗，是原方程的解；是原方程的增根
∴原方程的解是6分）
3．如圖，已知直線與雙曲線交於兩點，且點的橫座標為．
（1）求的值；
（2）若雙曲線上一點的縱座標為8，求的面積；
（3）過原點的另一條直線交雙曲線於兩點（點在第一
象限），若的面積為，求點的座標．
解：（1）∵點在直線上, 且點的橫座標為
∴點的座標為
∵點在雙曲線上
1分）（2）∵雙曲線上一點的縱座標為8
∴點的座標為
由點和點分別向軸作垂線，垂足分別為和
∴的面積=的面積+梯形的面積—的面積
153分）
（3）∵過原點的另一條直線交雙曲線於兩點
∴令點的座標為（）且
由點和點分別向軸作垂線，垂足分別為和
有兩種情形：點在點的上方和點在點的下方
∴易知的面積=梯形的面積
或 ∴解得點的座標為（）和7分）
4．某班為開展「迎冬奧會」的主題班會活動，派了兩位同學去學校附近的超市購買鋼筆作為獎品．已知該超市的甲種鋼筆每支8元，乙種鋼筆每支4.8元，他們要購買這兩種鋼筆共40支．
（1）如果兩人一共帶了240元，全部用於購買獎品，那麼能買這兩種筆各多少支？
（2）根據主題班會活動的設獎情況，決定所購買的甲種鋼筆的數量要少於乙種鋼筆的數量的，但又不少於乙種鋼筆的數量的．如果他們買了甲種鋼筆支，買這兩種筆共花了元．
①請寫出（元）關於（支）的函式關係式，並求出自變數的取值範圍；
②請幫他們計算一下，這兩種筆各購買多少支時，所花的錢最少，此時花多少元？
解：（1）設能買甲種鋼筆支，則能買乙種鋼筆支．依題意，得
解得．答：能買甲種鋼筆15支，乙種鋼筆25支3分）
（2）①依題意，得
又由題意，有
解得 關於的函式關係式為
（且為整數6分）
②對一次函式，，
隨的增大而增大對，當時，值最小
此時，（元）
答：當買甲種鋼筆8支，乙種鋼筆32支時，所花錢最少，為217.6元
7分）5．如圖1，點將線段分成兩部分，如果，那麼稱點為線段的**分割點．
某研究小組在進行課題學習時，由**分割點聯想到「**分割線」，類似地給出
「**分割線」的定義：直線將乙個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那麼稱直線為該圖形的**分割線．
（1）研究小組猜想：在中，若點為邊上的**分割點（如圖2），則直線是的**分割線．你認為對嗎？為什麼？
（2）研究小組在進一步**中發現：過點任作一條直線交於點，再過點作直線，交於點，連線（如圖3），則直線也是的**分割線．請你說明理由．
圖1圖2圖3
解：（1）直線是的**分割線．理由如下：
設的邊上的高為．
，，，所以，，．
又因為點為邊的**分割點，所以有．
因此． 所以，直線是的**分割線3分）
（2）因為，所以和的公共邊上的高也相等，
所以有．
設直線與交於點．所以．
所以 ，．
又因為，所以．
因此，直線也是的**分割線7分）
6．已知點c為半圓上一點，且弧ac=弧ce，過點c作直徑ab的垂線cp，p為垂足，弦ae分別交pc、cb於點d、f．
（1）求證：ad=dc；
（2）若df=，tan∠ecb=，求pb的長．
（1）證明：連線ac，
∵弧ac=弧ce，
∴∠cea=∠cae．
∵∠cea=∠cba，
∴∠cba=∠cae，
又∵ab是直徑，
∴∠acb=90°，
∵cp⊥ab，
∴∠cba=∠acp，
∴∠cae=∠acp，
∴ad=cd2分）
（2） ∵∠acb=90°，∠cae=∠acp，
∴∠dcf=∠cfd，
∴ad=cd=df=，
∵∠ecb=∠dap， tan∠ecb=，
∴tan∠dap=，
∵dp2+pa2=da2，
∴dp=，pa=1，
∴cp=2，
∵∠acb=90°，cp⊥ab，
∴△apc∽△cpb,
∴, ∴pb=46分）
7. 拋物線過點，頂點為m點．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）試判斷拋物線上是否存在一點p，使∠pom＝90．
若不存在，說明理由；若存在，求出p點的座標．
（3）試判斷拋物線上是否存在一點k，使∠omk＝90，
若不存在，說明理由；若存在，求出k點的座標．
解：（1）根據題意，得
解，得∴ 拋物線的解析式為． …………… （3分）
（2）拋物線上存在一點p，使∠pom＝90．
x=，.
∴ 頂點m的座標為．
設拋物線上存在一點p，滿足op⊥om，其座標為．
過p點作pe⊥y軸，垂足為e；過m點作mf⊥y軸，垂足為f．
則 ∠poe＋∠mof＝90，∠poe＋∠epo＝90．
∴ ∠epo＝∠fom．
∵ ∠oep＝∠mfo＝90，
∴ rt△oep∽rt△mfo．
∴ oe∶mf=ep∶of．
即． 解，得（捨去），．
∴ p點的座標為6分）
（3）過頂點m作mn⊥om，交y軸於點n．則 ∠fmn＋∠omf＝90．
∵ ∠mof＋∠omf＝90，
∴ ∠mof＝∠fmn．
又∵ ∠ofm＝∠mfn＝90，
∴ △ofm∽△mfn．
∴ of∶mf＝mf∶fn． 即 4∶2＝2∶fn．∴ fn＝1．
∴ 點n的座標為（0，-5）．
設過點m，n的直線的解析式為．
解，得直線的解析式為．
∴ 把①代入②，得．
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