編寫：甘向秀校審：高三數學組
第一部分：集合及集合之間的關係
1.注意區分集合中元素的形式.如：—函式的定義域；—函式的值域；
—函式圖象上的點集.
2.集合的性質：
①任何乙個集合是它本身的子集,記為.
②空集的特殊性：（ⅰ）空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集；
（ⅱ）空集與任何集合的並集都等於它本身，與任何集合的交集都是空集；
如：對集合時，要注意；;
若條件為,在討論的時候不要遺忘了的情況。
例：,如果,求的取值.(答案：)
③摩根定律（新教材課本特別指出）
交集的補集等於補集的並集，即；
並集的補集等於補集的交集，即；
④集合的關係： .
⑤元素的個數：.
⑥對於含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為，，，個.
特別提醒：數軸和韋恩圖是進行交、並、補運算的有力工具.在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用於解決否定型或正面較複雜的有關問題。
例：已知函式在區間上至少存在乙個實數,使,求實數的取值範圍.(答案：)
第二部分：常用邏輯用語
1.四種命題：原命題:；逆命題:；否命題:；逆否命題:；
規律特點：（1）互為逆否的兩個命題（原命題與逆否命題，逆命題與否命題）是等價的，它們有相同的真假性；
（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關係；
（3）在判斷命題的真假時，如果不容易直接判斷，可以反向判斷其逆否命題的真假。
2.命題的否定與否命題：命題的否定與它的否命題的區別：
命題的否定是,否命題是.
命題「或」的否定是「且」,「且」的否定是「或」.
（即：否命題條件和結論都否定，命題的否定不否條件只否定結論。）
例：命題「若和都是偶數，則是偶數」；
否命題是「若和不都是偶數,則是奇數」
命題的否定是「若和都是偶數,則是奇數」.
3.全稱量詞和存在量詞：
全稱命題p：；全稱命題p的否定p：.
特稱命題p：；特稱命題p的否定p：.
即：方法特點：量詞的轉換及結論的否定；
規律：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題；
4.常見結論的否定形式
5.復合命題：「或命題」的真假特點是「一真即真，要假全假」；
「且命題」的真假特點是「一假即假，要真全真」；
「非命題」的真假特點是「一真一假」。
6.充要條件：
（1）定義法：正、反方向推理，若就是的充分條件，反過來就是的必要條件；若，則是的充分非必要條件（或是的必要非充分條件）；
（2）利用集合間的包含關係，例如：若的充分條件（b是a的必要條件）；
若a＝b，則a是b的充要條件。
特別提醒：要善於構造原命題的逆否命題來判斷命題的充要關係，也就是說若原命題的充要關係不易判定時，可考慮它的等價命題——逆否命題，進而化難為易。
第三部分：函式的概念與基本初等函式ⅰ（冪函式和指對數函式）
1對映的概念：對映:是：⑴ 「一對一或多對一」的對應；⑵集合中的元素必有象且中不同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集).
其中一一對映:： ⑴「一對一」的對應；⑵中不同元素的象必不同,中元素都有原象.
2. 函式的概念：函式:是特殊的對映.特殊在定義域和值域都是非空數集！
①函式影象與軸的垂線至多有乙個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個.
②函式圖象一定是座標系中的曲線，但座標系中的曲線不一定能成為函式的圖象.
3.函式的三要素：定義域,值域,對應法則.研究函式的問題一定要注意定義域優先的原則.
4.函式定義域:使函式解析式有意義的自變數的範圍
常見型別：(1)式子有意義：分母;偶次根式被開方數非負;對數真數,底數且；零指數冪的底數；
(2)實際問題有意義；
(3)復合函式：若定義域為,復合函式定義域由解出；若定義域為,則定義域相當於時的值域.
5.求值域常用方法:
①配方法(二次函式類)； ②逆求法(反函式法) ；③換元法(特別注意新元的範圍).
④三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函式,運用三角函式有界性來求值域；
⑤不等式法；⑥單調性法；⑦數形結合：根據函式的幾何意義,利用數形結合的方法來求；
⑧判別式法（慎用）： ⑨導數法(一般適用於高次多項式函式).
常見結論：設函式，記。
若的定義域為r，則或；若的值域為r，則或；
6.求函式解析式的常用方法：
⑴待定係數法(已知所求函式的型別)； ⑵代換(配湊)法；
⑶方程的思想----對已知等式進行賦值，從而得到關於及另外乙個函式的方程組。
7.函式的奇偶性：
⑴定義：設，，如果對於任意，都有，則稱函式為奇函式；如果對於任意，都有，則稱函式為偶函式；
（2）奇偶函式的性質：
①函式具有奇偶性的必要條件是其定義域關於原點對稱（即判斷函式奇偶性首先必須看定義域是否關於原點對稱）；
②圖象特徵：是偶函式的圖象關於軸對稱；
是奇函式的圖象關於原點對稱；
③奇函式在對稱的單調區間內有相同的單調性，偶函式在對稱的單調區間內具有相反的單調性.
④為偶函式．
⑤若奇函式的定義域包含，則．
⑥判斷函式奇偶性可用定義的等價形式：或；
⑦復合函式的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」.
特別提醒：若判斷較為複雜解析式函式的奇偶性，應先化簡再判斷；既奇又偶的函式有無數個(如定義域關於原點對稱即可).
8.函式的單調性
（1）定義：①如果函式對區間內的任意，當時都有，則在內是增函式；當時都有，則在內時減函式。
②設函式在某區間內可導，若，則為的增函式；若，則為的減函式.
注：單調性的定義①的等價形式：設，那麼在是增函式；
在是減函式； 在是減函式。
（2）確定函式單調性的方法有定義法、導數法、影象法和特值法(用於小題)等.
（3）復合函式單調性由「同增異減」判定. （特別提醒：求單調區間時注意定義域，及單調區間必須是定義域的子區間）
9.函式影象的對稱性
(1)乙個函式影象自身的對稱性
性質1：對於函式，若對定義域內的任意，都有成立，則函式的影象關於直線對稱.
性質2：對於函式，若對定義域內的任意，都有成立，則函式的影象關於點對稱.
特別提醒：1、若函式為偶函式，則函式的影象關於直線對稱.
2、若函式為奇函式，則函式的影象關於點對稱.
(2)兩個函式影象之間的對稱性
1.函式與的影象關於直線對稱.
2.函式與的影象關於直線對稱.
3.函式與的影象關於原點對稱.
4.函式與它的反函式的影象關於直線對稱.（新教材僅研究指對數函式的這種對稱關係）
5.函式與的影象關於直線對稱.
特別地，函式與的影象關於直線對稱.
10.函式的週期性：
（1）定義：對於定義域內的每乙個，都存在非零常數，使得恆成立，則稱函式具有週期性，叫做的乙個週期，則（）也是的週期，所有週期中的最小正數叫的最小正週期.
（2）幾種特殊的抽象函式：具有週期性的抽象函式：函式滿足對定義域內任一實數（其中為常數）,
①，則是以為週期的週期函式；
則是以為週期的週期函式；
③，則是以為週期的週期函式；
④，則是以為週期的週期函式；
（3）函式週期性、對稱性與奇偶性的關係
①若關於點,對稱,則的週期為；
②若的圖象關於直線,對稱,則函式的週期為；
③若的圖象關於直線,點對稱,則函式的週期為；
特別提醒：若是偶函式,其影象又關於直線對稱,則的週期為；
若奇函式,其影象又關於直線對稱,則的週期為；
11.函式圖象的幾種常見變換：
⑴平移變換：左右平移左加右減」（注意是針對而言）；
上下平移----「上加下減」(注意是針對而言).
⑵翻摺變換：(1)由得到，就是把的影象在軸下方的部分作關於軸對稱的影象，即把軸下方的部分翻到軸上方，而原來軸上方的部分不變.
(2)由得到，就是把的影象在軸右邊的部分作關於軸對稱的影象，即把軸右邊的部分翻到軸的左邊，而原來軸左邊的部分去掉，右邊的部分不變.
⑶對稱變換：證明影象與的對稱性,即證上任意點關於對稱中心(軸)的對稱點仍在上,反之亦然.
12.冪函式的的性質及影象變化規律（新教材新增加內容）：
(1)所有的冪函式在都有定義，並且影象都過點；
(2)時，冪函式的影象通過原點，並且在區間上
是增函式．特別地，當時，冪函式的影象下凸；
當時，冪函式的影象上凸；
(3)時，冪函式的影象在區間上是減函式．
在第一象限內，當從右邊趨向原點時，影象在軸右方
無限地逼近軸正半軸，當趨於時，影象在軸上方
無限地逼近軸正半軸．
特別提醒：對於冪函式我們只要求掌握的這5類，它們的影象都經過乙個定點(0,0)和(0,1)，並且時影象都經過(1,1)，把握好冪函式在第一象限內的影象就可以了.
13.指數與對數概念與運算：
（1）分數指數冪與根式的互化：， (,，且)
零的正分數指數冪為，的負分數指數冪沒有意義.
（2）指數的運算性質：，（其中，）
（3）指數式與對數式的互化：．，.
（4）對數的運算法則：如果有
； ；
（5）換底公式及換底性質
②，③， ④
（6）指數方程和對數方程主要有以下幾種型別：
①；（定義法）
②； （同底法）
③ (兩邊取對數法)
④ (換底法)
⑤（）（設或）（換元法）
13.指對數函式及圖象：
（1）(且)的影象特徵：
時，圖象像一撇，過點,且在軸左側越大，圖象越靠近軸(如圖)， 在上為增函式；；
時，圖象像一捺，過點,且在軸左側越小，圖象越靠近軸(如圖)，在上是減函式.；
與的圖象關於軸對稱(如圖).
圖圖圖（2）的圖象特徵：
時，圖象像一撇，過點，在軸上方越大越靠近軸，在單增；
高考數學基礎知識分類與解題策略 理科
2011年新建二中高考數學衝刺材料 編寫 甘向秀校審 高三數學組 2011.05 第一部分 集合及集合之間的關係 1.注意區分集合中元素的形式.如 函式的定義域 函式的值域 函式圖象上的點集.2.集合的性質 任何乙個集合是它本身的子集,記為.空集的特殊性 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真...
高考數學基礎知識總結
高中數學第一章 集合 考試內容 集合 子集 補集 交集 並集 邏輯聯結詞 四種命題 充分條件和必要條件 考試要求 1 理解集合 子集 補集 交集 並集的概念 了解空集和全集的意義 了解屬於 包含 相等關係的意義 掌握有關的術語和符號，並會用它們正確表示一些簡單的集合 2 理解邏輯聯結詞 或 且 非 ...
高考數學基礎知識彙總
第一部分集合 1 含n個元素的集合的子集數為2 n,真子集數為2 n 1 非空真子集的數為2 n 2 2 注意 討論的時候不要遺忘了的情況。3 第二部分函式與導數 1 對映 注意 第乙個集合中的元素必須有象 一對一，或多對一。2 函式值域的求法 分析法 配方法 判別式法 利用函式單調性 換元法 利用...