第二講函式
高斯函式的性質
對任意實數x,我們記不超過x的最大整數為[x]，通常稱函式y=[x]為取整函式，又稱高斯函式.
進一步，記=x－[x]，則函式y=稱為小數部分函式，它表示的是x的小數部分.
根據高斯函式的定義，可得到其如下性質.
性質1 對任意x∈r，均有
x－1<[x]≤x<[x]+1.
性質2 對任意x∈r，函式y=的值域為.
性質3 高斯函式是乙個不減函式，即對任意x1, x2∈r，若x1≤x2, 則[x1]≤[x2].
性質3 若n∈z, x∈r,則有 [x+n]=n+[x], =
後乙個式子表明y=是乙個以1為週期的函式.
性質4 若x , y ∈r，則 [x]+ [y]≤[x+y] ≤[x]+ [y]+1.
性質5 若n∈n*, x∈r, 則[nx]≥n[x]
性質6 若n∈n*, x∈r, 則.
性質7 若n∈n*, x∈r+, 則在區間[1,x]內，恰有個整數是n的倍數.
性質8 設p為質數，n∈n*,在p在n!的質因數分解式中的冪次為
1、方程解（函式零點）的問題
例1.方程一共有個解.
練習：1、所有的滿足條件的正整數對的個數為．
2、設為方程的根（），則__.
例2.解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
【評述】通過觀察方程的特點，將方程適當化簡。
練習：1、（2023年北約）
2、若，且為正整數，則
3、已知是實數, 二次函式滿足，求證：－1與1中至少有乙個是的根.
4、已知m，n為正整數.
(1) 用數學歸納法證明：當x＞－1時，(1＋x)m≥1＋mx；
(2) 對於n≥6，已知，求證： (m=1,2, 3, …, n)；
(3) 求出滿足等式3n＋4n＋…＋(n＋2)n＝(n＋3)n的所有正整數n.
5、關於的方程至少有乙個解,則實數的範圍是
6、求方程x2＋x＝y4＋y3＋y2＋y的整數解．
2、函式值域（最值）問題
例3設a=,在a上定義函式f如下：若a∈a，則f(a)表示a的數字之和，例如f(7)=7，f(42)=6，設函式f的值域是集合m.求證：m=.
例4設正實數x, y滿足xy=1，求函式f(x, y) =的值域.（其中（[x]表示不超過x的最大整數）
例5求函式y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
練習:1、（03全國）已知x，y都在區間(－2，2)內，且xy＝－1，則函式的最小值是（ ）
a． b c． d．
2、（05全國）使關於的不等式有解的實數的最大值是（ ）
a． b． c． d．
3、（01全國）函式y＝x＋的值域為
例6求函式f(x)=的最大值。
例7設．若時，，且在區間上的最大值為1，求的最大值和最小值．
練習：1、已知點在曲線y=ex上，點在曲線y=lnx上，則的最小值是_______
例8.設（是實數），當時，. 求的最大可能值.
練習：1、（2010華約）設．過點且平行於軸的直線與曲線的交點為，曲線過點的切線交軸於點，則的面積的最小值是（）
（a）1 （b）（c）（d）
例9.設函式
（1）若與在同乙個值時都取得極值，求的值.
（2）對於給定的負數，有乙個最大的正數，使得時，恒有求：
①的表示式；②的最大值及相應的值.
3、函式性質
例10.設是連續的偶函式,且當時是嚴格單調函式,則滿足的所有之和為( ). a. b.-8 c. 3 d.
例11.（06天津）已知、是關於的二次方程的兩個根，且，若函式．（ⅰ）求的值；（ⅱ）對任意的正數、，求證：．
練習:1、若，且，則角的取值範圍是.
4、求值問題
例12.已知，定義，則；
練習：1、已知多項式f (x)滿足：, 則_________
例13.設x, y∈r，且滿足，求x+y.
例14.已知實數滿足，，則與的大小關係為 .
例15.求和： =（其中表示不超過的最大整數）.
例16：設集合對映f：f→z.使得的值.
例17.（04全國）設函式，且對任意
，則練習：
1、已知，過點(－1, 1)的直線l與該函式圖象相切，且(－1, 1)不是切點，則直線l的斜率為 ( )
2、設，則。
a 1 b 2 c 3 d 4
例18（2010華約）設函式，且存在函式，滿足．
（ⅰ）證明：存在函式滿足；
（ⅱ）設證明：．
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六 精彩題目欣賞 思考 一以下題目語言形式上有什麼特點？一 只緣身在此山中 淡妝濃抹總相宜 生於憂患，死於安樂 言必信，行必果 一句話，一輩子 在那桃花盛開的地方 禍患常積於忽微 二 誠以養德，信以修身 若為人生故，誠信不可拋 生命 誠 可貴 世界因愛而精彩 為愛撐一支長篙 失信猛於虎 都是誠信惹的...