分式的有關概念和性質與分數相類似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等於零時才有意義；也像分數一樣，分式的分子與分母都乘以(或除以)同乙個不等於零的整式，分式的值不變，這一性質是分式運算中通分和約分的理論根據．在分式運算中，主要是通過約分和通分來化簡分式，從而對分式進行求值．除此之外，還要根據分式的具體特徵靈活變形，以使問題得到迅速準確的解答．本講主要介紹分式的化簡與求值．
例1 化簡分式：
分析直接通分計算較繁，先把每個假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡將簡便得多．
＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］
說明本題的關鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式．
例2 求分式
當a=2時的值．
分析與解先化簡再求值．直接通分較複雜，注意到平方差公式：
a2-b2=(a+b)(a-b)，
可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項．
例3 若abc=1，求
分析本題可將分式通分後，再進行化簡求值，但較複雜．下面介紹幾種簡單的解法．
解法1 因為abc=1，所以a，b，c都不為零．
解法2 因為abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．
例4 化簡分式：
分析與解三個分式一齊通分運算量大，可先將每個分式的分母分解因式，然後再化簡．
說明互消掉的一對相反數，這種化簡的方法叫「拆項相消」法，它是分式化簡中常用的技巧．
例5 化簡計算(式中a，b，c兩兩不相等)：
似的，對於這個分式，顯然分母可以分解因式為(a-b)(a-c)，而分子又恰好湊成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．
解說明本例也是採取「拆項相消」法，所不同的是利用
例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求
分析本題字母多，分式複雜．若把條件寫成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那麼題目只與x-a，y-a，z-a有關，為簡化計算，可用換元法求解．
解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，則分式變為
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．
由於x，y，z不全相等，所以u，v，w不全為零，所以u2+v2+w2≠0，從而有
說明從本例中可以看出，換元法可以減少字母個數，使運算過程簡化．
例7 化簡分式：
適當變形，化簡分式後再計算求值．
(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．
原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10
=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10
=10，
原式分母=(x2-8x+13)+2=2，
說明本例的解法採用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種特殊型別，應用得當會使問題的求解過程大大簡化．
解法1 利用比例的性質解決分式問題．
(1)若a+b+c≠0，由等比定理有
所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，
於是有(2)若a+b+c=0，則
a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
於是有說明比例有一系列重要的性質，在解決分式問題時，靈活巧妙地使用，便於問題的求解．
解法2 設引數法．令
則a+b=(k+1)c，①
a+c=(k+1)b，②
b+c=(k+1)a．③
①+②+③有
2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，
所以 (a+b+c)(k-1)=0，
故有k=1或a+b+c=0．
當k=1時，
當a+b+c=0時，
說明引進乙個引數k表示以連比形式出現的已知條件，可使已知條件便於使用．
練習四 1．化簡分式：
2．計算：
3．已知：
(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2
=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．
浙教版7年級下冊《分式綜合》複習
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