4.5 特殊的四邊形
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1. 矩形的性質.
【解析】 連線be,設ab=3x,bc=5x,根據勾股定理求出ae=4x,de=x,求出x的值,求出ab,bc,即可求出答案.
【答案】 如圖,連線be,則be=bc.
設ab=3x,bc=5x,
∵ 四邊形abcd是矩形,
∴ ab=cd=3x,ad=bc=5x,∠a=90°.
由勾股定理,得ae=4x,
則de=5x-4x=x,
【誤區糾錯】 本題考查了矩形的性質,勾股定理的應用,解此題的關鍵是求出x的值.
2. 菱形面積的計算.
【例2】 (2014·甘肅蘭州)如果菱形的兩條對角線的長為a和b,且a,b滿足那麼菱形的面積等於 .
【解析】 根據非負數的性質列式求出a,b,再根據菱形的面積等於對角線乘積的一半列式計算即可得解.
【答案】 由題意,得a-1=0,b-4=0,
解得a=1,b=4,
∵ 菱形的兩條對角線的長為a和b,
∴ 菱形的面積
【誤區糾錯】 本題考查了非負數的性質,菱形的性質,主要利用了菱形的面積等於對角線乘積的一半.
3. 正方形的性質.
【例3】 (2014·廣東梅州)如圖,在正方形abcd中,e是ab上一點,f是ad延長線上一點,且df=be.
(1)求證:ce=cf;
(2)若點g在ad上,且∠gce=45°,則ge=be+gd成立嗎?為什麼?
【解析】 (1)由df=be,四邊形abcd為正方形可證△ceb≌△cfd,從而證出ce=cf.
(2)由(1)得,ce=cf,∠bce+∠ecd=∠dcf+∠ecd即∠ecf=∠bcd=90°.又∠gce=45°,所以可得∠gce=∠gcf,故可證得△ecg≌△fcg,即eg=fg=gd+df.又因為df=be,所以可證出ge=be+gd成立.
【答案】 (1)在正方形abcd中,
∵ bc=cd,∠b=∠cdf,be=df,
∴ △cbe≌△cdf(sas).
∴ ce=cf.
(2)ge=be+gd成立.理由如下:
∵ 由(1),得△cbe≌△cdf,
∴ ∠bce=∠dcf.
∴ ∠bce+∠ecd=∠dcf+∠ecd,即∠ecf=∠bcd=90°,
又 ∠gce=45°,
∴ ∠gcf=∠gce=45°.
∵ ce=cf,∠gce=∠gcf,gc=gc,
∴ △ecg≌△fcg(sas).
∴ ge=gf.
∴ ge=df+gd=be+gd.
【誤區糾錯】 本題主要考查證兩條線段相等往往轉化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想,在第二問中也是考查了通過全等找出和ge相等的線段,從而證出關係是不是成立.
名師點撥
重點:特殊平行四邊形的性質和判定的應用.
難點:以特殊平行四邊形為物件,進行圖形變換(如旋轉、翻摺等),以及將圖形問題與函式、方程綜合應用的問題.
提分策略
1. 在特殊平行四邊形的背景中,**與三角形相關的問題.
以特殊平行四邊形為原型,通過圖形變換,構造出特殊三角形,提出與三角形相關的問題,解決此類問題的關鍵是適時新增輔助線,將四邊形的問題轉化為三角形的問題.
【例1】 如圖,將矩形abcd的四個角向內折起,恰好拼成乙個無縫隙無重疊的四邊形efgh,eh=12厘公尺,ef=16厘公尺,則邊ad的長是( ).
a. 12厘公尺 b. 16厘公尺
c. 20厘公尺 d. 28厘公尺
【解析】 本題考查的是翻摺變換及勾股定理、全等三角形的判定與性質,解答此題的關鍵是作出輔助線,構造出全等三角形,再根據直角三角形及全等三角形的性質解答.我們先求出△efh是直角三角形,再根據勾股定理求出fh=20,再利用全等三角形的性質解答即可.
【答案】 設斜線上兩個點分別為p,q,如圖.
∵ 點p是點a對折過去的,
∴ ∠eph為直角,△aeh≌△peh.
∴ ∠hea=∠hep.
同理∠pef=∠bef.
∴ ∠peh+∠pef=90°.
∴ 四邊形efgh是矩形.
∴ △dhg≌△bfe,△hef是直角三角形.
∴ bf=dh=pf.
∵ ah=hp,
∴ ad=hf.
∵ eh=12cm,ef=16 cm,
∴ fh===20(cm).
∴ fh=ad=20cm.
故選c.
2. 以三角形為基本圖形,通過圖形變換構造四邊形問題.
以三角形為起點,經歷圖形變換形成較為複雜的圖形,提出與四邊形相關的問題,解決此類問題的關鍵是明確四邊形的形成過程,從而根據四邊形的邊、角及對角線的特性去判定四邊形的形狀.
【例2】 如圖,已知△abc,按如下步驟作圖:
①分別以a,c為圓心,以大於ac的長為半徑在ac兩邊作弧,交於兩點m,n;
②連線mn,分別交ab,ac於點d,o;
③過c作ce∥ab交mn於點e,連線ae,cd.
(1)求證:四邊形adce是菱形;
(2)當∠acb=90°,bc=6,△adc的周長為18時,求四邊形adce的面積.
【解析】 此題主要考查了菱形的判定以及對角線垂直的四邊形面積求法,根據已知得出△ado∽△abc,進而求出ao的長是解題關鍵.
(1)利用直線de是線段ac的垂直平分線,得出ac⊥de,即∠aod=∠coe=90°,進而得出△aod≌△coe,即可得出四邊形adce是菱形.
(2)利用當∠acb=90°時,od∥bc,即有△ado∽△abc,即可得出ac和de的長即可得出四邊形adce的面積.
【答案】 (1)由題意,知
直線de是線段ac的垂直平分線,
∴ ac⊥de,即∠aod=∠coe=90°,
且 ad=cd,ao=co.
又 ce∥ab,
∴ ∠ado=∠ceo.
∴ △aod≌△coe.
∴ od=oe.
∴ 四邊形adce是菱形.
(2)當∠acb=90°時,
∵ od∥bc,
∴ △ado∽△abc.
又 bc=6,
∴ od=3.
又 △adc的周長為18,
∴ ad+ao=9,
即 ad=9-ao.
∴ ao=4.
∴ de=6,ac=8.
3. 利用菱形、正方形的對稱性進行解題.
求線段和的最小值問題,就是利用軸對稱的性質,解決的方法是先確定一點關於直線的對稱點,連線另一點與對稱點,即可得到線段和的最小值,而在「確定一點關於直線的對稱點」時,就是利用了菱形、正方形的對稱性.
【例3】 如圖,菱形abcd的兩條對角線分別長6和8,點p是對角線ac上的乙個動點,點m,n分別是邊ab,bc的中點,則pm+pn的最小值是 .
【解析】 由對角線是6和8,知菱形邊長為5,作m關於ac的對稱點m',連線m'n交ac於點p,則此時pm+pn和最小為線段m'n的長,此時m'n=ab=5.
【答案】 5
4. 與正方形相關的綜合性問題.
由於正方形的特殊性質,可以借助正方形進行運動變化,從而使問題具有較強的**性,也可以與方程、函式聯絡起來,即用方程或函式研究圖形問題.
【例4】 已知,正方形abcd中,∠man=45°, ∠man繞點a順時針旋轉,它的兩邊分別交cb,dc(或它們的延長線)於點m,n,ah⊥mn於點h.
(1)如圖(1),當∠man繞點a旋轉到bm=dn時,請你直接寫出ah與ab的數量關係: ;
(2)如圖(2),當∠man繞點a旋轉到bm≠dn時,(1)中發現的ah與ab的數量關係還成立嗎?如果不成立請寫出理由,如果成立請證明;
(3)如圖(3),已知∠man=45°,ah⊥mn於點h,且mh=2,nh=3,求ah的長.(可利用(2)得到的結論)
【解析】 (1)由三角形全等可以證明ah=ab.
(2)延長cb至e,使be=dn,證明△aem≌△anm,能得到ah=ab.
(3)分別沿am,an翻摺△amh和△anh,得到△abm和△and,然後分別延長bm和dn交於點c,得正方形abcd,設ah=x,則mc=x-2,nc=x-3,在rt△mcn中,由勾股定理,解得x.
【答案】 (1)ah=ab.
(2)數量關係成立.如圖(4),延長cb至e,使be=dn.
∵ abcd是正方形,
∴ ab=ad,∠d=∠abe=90°.
∴ rt△aeb≌rt△and.
∴ ae=an,∠eab=∠nad.
∴ ∠eam=∠nam=45°.
∵ am=am,
∴ △aem≌△anm.
∵ ab,ah是△aem和△anm對應邊上的高,
∴ ab=ah.
(4)(5)
(3)如圖(5)分別沿am,an翻摺△amh和△anh,
得到△abm和△and.
∴ bm=2,dn=3,∠b=∠d=∠bad=90°.
分別延長bm和dn交於點c,得正方形abcd.
由(2)可知,ah=ab=bc=cd=ad.
設ah=x,則mc=x-2,nc=x-3.
在rt△mcn中,由勾股定理,得
mn2=mc2+nc2.
∴ 52=(x-2)2+(x-3)2.
解得x1=6,x2=-1(不符合題意,捨去).
∴ ah=6.
專項訓練
一、 選擇題
1. (2014·江蘇常熟二模)如圖,已知菱形abcd的對角線ac,bd的長分別為6cm, 8cm,ae⊥bc於點e,則ae的長是( ).
(第1題)
(第2題)
2. (2014·廣西梧州模擬)如圖,矩形紙片abcd中,ad=4,cd=3,摺疊紙片使ab邊與對角線ac重合,摺痕為ae,記與點b重合的點為f,則△cef的面積與矩形紙片abcd的面積的比為( ).
3. (2013·江蘇揚州弘揚中學二模)如圖所示,如果將矩形紙沿虛線①對折後,沿虛線②剪開,剪出乙個直角三角形,展開後得到乙個等腰三角形.則展開後三角形的周長是( ).
(第3題)
a. 2+ b. 2+2
c. 12 d. 18
4. (2013·山西中考模擬六)在下列命題中,正確的是( ).
a. 一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
b. 有乙個角是直角的四邊形是矩形
c. 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
d. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
二、 填空題
5. (2014·廣東深圳模擬)如圖, 點a在雙曲線上,點b在雙曲線上,且ab∥x軸,點c,d在x軸上,若四邊形abcd為矩形, 且它的面積為3,則k= .
(第5題)
(第6題)
6. (2013·遼寧鐵嶺模擬)如圖,直線a經過正方形abcd的頂點a,分別過頂點b,d作de⊥a於點e,bf⊥a於點f,若de=4,bf=3,則ef的長為 .
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