平面直角座標系及函式的圖象
易錯清單
1. 能確定較複雜函式的自變數取值範圍嗎?
【例1】 (2014·山東濟寧)函式中的自變數x的取值範圍是( ).
a. x≥0 b. x≠-1
c. x>0 d. x≥0且x≠-1
【解析】 根據二次根式的性質和分式的意義,被開方數大於或等於0,分母不等於0,可以求出x的範圍.
【答案】 根據題意,得x≥0且x+1≠0,
解得x≥0.
故選a.
【誤區糾錯】 本題考查了自變數的取值範圍,函式自變數的範圍一般從三個方面考慮:當函式表示式是整式時,自變數可取全體實數;當函式表示式是分式時,考慮分式的分母不能為0;當函式表示式是二次根式時,被開方數非負.
2. 能利用直角座標系**點的座標的變化規律.
【例2】 (2014·山東泰安)如圖,在平面直角座標系中,將△abo繞點a順時針旋轉到△ab1c1的位置,點b,o分別落在點b1,c1處,點b1在x軸上,再將△ab1c1繞點b1順時針旋轉到△a1b1c2的位置,點c2在x軸上,將△a1b1c2繞點c2順時針旋轉到△a2b2c2的位置,點a2在x軸上,依次進行下去….若點,b(0,4),則點b2014的橫座標為 .
【解析】 首先利用勾股定理得出ab的長,進而得出三角形的周長,進而求出b2,b4的橫座標,進而得出變化規律,即可得出答案.
【答案】 ∵,bo=4,
故答案為10070.
【誤區糾錯】 此題主要考查了點的座標以及圖形變化類,根據題意得出b點橫座標變化規律是解題關鍵.由特殊總結一般性.
3. 借助函式圖象描述問題中兩個變數之間的關係.
【例3】 (2014·山東煙台)如圖,點p是abcd邊上一動點,沿a→d→c→b的路徑移動,設p點經過的路徑長為x,△bap的面積是y,則下列能大致反映y與x的函式關係的圖象是( ).
【解析】 分三段來考慮點p沿a→d運動,△bap的面積逐漸變大;點p沿d→c移動,△bap的面積不變;點p沿c→b的路徑移動,△bap的面積逐漸減小,據此選擇即可.
【答案】 點p沿a→d運動,△bap的面積逐漸變大;點p沿d→c移動,△bap的面積不變;點p沿c→b的路徑移動,△bap的面積逐漸減小.故選a.
【誤區糾錯】 本題主要考查了動點問題的函式圖象.注意分段考慮.
名師點撥
1. 會畫出直角座標系,能標識點在平面直角座標系的位置.
2. 能根據點的座標的正、負性確定點的對稱性及所在象限.
3. 理解函式的意義,會解釋並區分常量與變數,能列簡單的函式關係,會進行描點法畫函式的圖象.
4. 能列舉函式的三種表示方法.
5. 會求出函式中自變數的取值範圍,如保證分母不為零,使二次根式有意義等.
6. 能利用代入法求函式的值.
7. 能利用函式變化規律進行準確猜想、判斷.
提分策略
1. 函式的概念及函式自變數的取值範圍.
函式自變數的取值範圍一般從三個方面考慮:
(1)當函式關係式是整式時,自變數可取全體實數;
(2)當函式關係式是分式時,考慮分式的分母不能為0;
(3)當函式關係式是二次根式時,被開方數為非負數.此題就是第三種情形,考慮被開方數必須大於等於0.
【解析】 根據二次根式的意義,被開方數不能為負數,據此求解.
【答案】 c
2. 函式解析式的求法.
具體地說求函式的解析式和列一元一次方程解實際問題基本相似,即弄清題意和題目中的數量關係,找到能夠表示所求問題含義的乙個相等的關係,根據這個相等的數量關係,列出所需的代數式,從而列出兩個變數之間的關係式.
【例2】 某蔬菜加工廠承擔出口蔬菜加工任務,有一批蔬菜產品需要裝入某一規格的紙箱.**這種紙箱有兩種方案可供選擇:
方案一:從紙箱廠定製購買,每個紙箱**為4元;
方案二:由蔬菜加工廠租賃機器自己加工製作這種紙箱,機器租賃費按生產紙箱數收取.工廠需要一次性投入機器安裝等費用16000元,每加工乙個紙箱還需成本費2.4元.
(1)若需要這種規格的紙箱x個,請分別寫出從紙箱廠購買紙箱的費用y1(元)和蔬菜加工廠自己加工製作紙箱的費用y2(元)關於x(個)的函式關係式;
(2)假設你是決策者,你認為應該選擇哪種方案?並說明理由.
【答案】 (1)從紙箱廠定製購買紙箱費用y1=4x.
蔬菜加工廠自己加工紙箱費用y2=2.4x+16000.
(2)y2-y1=(2.4x+16000)-4x=16000-1.6x,
由y1=y2,得16 000-1.6x=0,
解得x=10000.
∴ 當x<10000時,y1選擇方案一,從紙箱廠定製購買紙箱所需的費用低.
∴ 當x>10000時,y1>y2.
選擇方案二,蔬菜加工廠自己加工紙箱所需的費用低.
∴ 當x=10000時,y1=y2.
兩種方案都可以,兩種方案所需的費用相同.
3. 座標系中的圖形的平移與旋轉.
求乙個圖形旋轉、平移後的圖形上對應點的座標,一般要把握三點:一是根據圖形變換的性質,二是利用圖形的全等關係;三是確定變換前後點所在的象限.
【例3】 在平面直角座標系中,規定把乙個三角形先沿著x軸翻摺,再向右平移2個單位長度稱為1次變換.如圖,已知等邊三角形abc的頂點b,c的座標分別是(-1,-1),(-3,-1),把△abc經過連續9次這樣的變換得到△a'b'c',則點a的對應點a'的座標是 .
4. 運用函式的圖象特徵解決問題.
(1)由函式圖象的定義可知圖象上任意一點p(x,y)中的座標值x,y是解析式方程的乙個解,反之,以解析式方程的任意一解為座標的點一定在函式的圖形上.
(2)注意方程與函式的結合,抓住「方程(方程的解)——點的座標——函式圖象與性質」這個網,結合數學知識,用數形結合法來解題.
【例4】 小剛上午7:30從家裡出發步行上學,途經少年宮時走了1200步,用時10分鐘,到達學校的時間是7:55.
為了估測路程等有關資料,小剛特意在學校的田徑跑道上,按上學的步行速度,走完100公尺用了150步.
(1)小剛上學步行的平均速度是多少公尺/分?小剛家和少年宮之間、少年宮和學校之間的路程分別是多少公尺?
(2)下午4:00,小剛從學校出發,以45公尺/分的速度行走,按上學時的原路回家,在未到少年宮300公尺處與同伴玩了半小時後,趕緊以110公尺/分的速度回家,中途沒有再停留.問:
①小剛到家的時間是下午幾時?
②小剛回家過程中,離家的路程s(公尺)與時間t(分)之間的函式關係如圖,請寫出點b的座標,並求出線段cd所在直線的函式解析式.
②小剛從學校出發,以45公尺/分的速度行走到離少年宮300公尺處時實際走了900公尺,用時分,此時小剛離家1100公尺,所以點b的座標是(20,1100).
點c的座標是(50,1100),點d的座標是(60,0),
設線段cd所在直線的函式解析式是s=kt+b,將點c,d的座標代入,得
所以線段cd所在直線的函式解析式是s=-110t+6600.
5. 分段函式的應用
自變數在不同的範圍內取值時,函式y和x有不同的對應關係,這種函式稱為分段函式,解決分段函式的有關問題時,關鍵是弄清自變數的取值範圍,選擇適合的解析式解決問題.
【例5】 如圖,在矩形abcd中,ab=2,bc=1,動點p從點b出發,沿路線b→c→d作勻速運動,那麼△abp的面積s與點p運動的路程x之間的函式圖象大致是( ).
【答案】 b
專項訓練
一、 選擇題
1. (2014·四川中江縣一模)已知點a(a,1)與點a'(-5,b)是關於原點o的對稱點,則a+b的值為( ).
a. 1 b. 5
c. 6 d. 4
2. (2014·深圳模擬)已知點a(a+2,a-1)在平面直角座標系的第四象限內,則α的取值範圍為( ).
a. -2c. -13. (2014·寧夏銀川外國語學校模擬)已知點p(a+1,2a-3)關於x軸的對稱點在第一象限,則a的取值範圍是( ).
4. (2014·內蒙古赤峰模擬)小芳的爺爺每天堅持體育鍛煉,某天他慢步行走到離家較遠的公園,打了一會兒太極拳,然後沿原路跑步回到家裡.下面能夠反映當天小芳爺爺離家的距離y(公尺)與時間x(分鐘)之間的函式關係的大致圖象是( ).
5. (2013·廣東佛山模擬)在直角座標系xoy中,點p(4,y)在第四象限內,且op與x軸正半軸的夾角的正切值是2,則y的值是( ).
a. 2 b. 8
c. -2 d. -8
6. (2013·湖北宜昌調研)在正方形abcd中,點p從點c出發沿著正方形的邊依次經過點d,a向終點b運動,運動的路程為x(cm),△pbc的面積為y(cm2),y隨x變化的圖象可能是( ).
7. (2013·河南南陽模擬)如圖,在平面直角座標系中,在x軸、y軸的正半軸上分別擷取oa,ob,使oa=ob;再分別以點a,b為圓心,以大於ab長為半徑作弧,兩弧交於點c.若點c的座標為(m-1,2n),則m與n的關係為( ).
(第7題)
a. m+2n=1 b. m-2n=1
c. 2n-m=1 d. n-2m=1
二、 填空題
8. (2014·廣西玉林模擬)在平面直角座標系中,點(0,2)到x軸的距離是 .
9. (2014·甘肅天水模擬)函式中,自變數x的取值範圍
10. (2014·四川達州模擬)如圖,在平面直角座標系中,一動點從原點o出發,按向上,向右,向下,向右的方向不斷地移動,每移動乙個單位,得到點a1(0,1),a2(1,1),a3(1,0),a4(2,0),…那麼點a4n+1(n為自然數)的座標為 (用n表示).
(第10題)
11. (2013·北京房山區一模)如圖,在平面直角座標系中,以原點o為圓心的同心圓半徑由內向外依次為1,2,3,4,…,同心圓與直線y=x和y=-x分別交於a1,a2,a3,a4,…,則點a31的座標是 .
(第11題)
三、 解答題
12. (2014·四川峨眉山二模)如圖所示,在平面直角座標系中,每個小方格的邊長是1,把△abc先向右平移4個單位,再向下平移2個單位,得到△a'b'c'.在座標系中畫出△a'b'c',並寫出△a'b'c'各頂點的座標.
(第12題)
13. (2013·遼寧葫蘆島一模)如圖,在邊長為1的小正方形組成的網格中,△aob的三個頂點均在格點上,點a,b的座標分別為(3,2),(1,3).△aob繞點o逆時針旋轉90°後得到△a1ob1.
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