第四章彈性力學問題的能量方法概說
4.1 基本問題與基本方程回顧
1. 應力與應變張量及其座標變換 （見平面彈性力學一節）
2. 一般線彈性材料的物理關係
在彈性體受力發生變形的過程中，外力要作功；與此同時，彈性體內部貯存能量稱為彈性應變能。在等溫條件下，彈性應變能在數值上等於外力功，彈性體中的彈性應變能用u表示，單位體積內的彈性應變能用u。表示，即彈性應變能密度函式。
根據彈性力學知識， 在應力作用下，應變從
變到在單位體積內的應變能則為：
1）在應變從零緩慢地增加到終值的整個載入過程中，對線彈性體上式積分便得到
（2）在均質彈性體中，材料性質不隨座標位置而改變，這時彈性應變能是應變分量
的函式，且僅於應變的終值有關（全微分）。所以必有：
又按照力學作功的概念，有：
代入廣義虎克定律，並將上式寫成矩陣形式：
對上式第一式關於y 求導；對上式第二式關於x 求導可得：
由於能量是關於應變的二次型，所以，關於求導順序無關，因此得：
同理可得
用張量表示為共21個獨立引數）
用矩陣表示為：
關於應變能二次型的表示式：
將廣義虎克定律代入式（2），用矩陣可表示為：
3. 應變協調關係：
4. 更廣泛意義上的物理關係（能量積分形式，見虛功原理的恒等表示式）
5. 彈性力學問題的微分方程
4.2 虛功原理 （彈性體一般能量原理）
1. 概念
1 借助物理中的能量守恆原理,建立兩類對偶量在各自滿足基本條件情況下的可能(積分)關係；
2 是獲得力學計算方法的基礎；
3 其它變分原理證明中用到的工具；
可能位移及應變：滿足連續性條件及邊界條件；
可能應力：滿足平衡方程(與外力作用維持平衡的應力，含力的邊界條件)。
2. 表示式
+=含義：外力在可能位移上的做功等於內力在可能應變上做的功。
3. 恒等式 (將平衡方程代入左端，幾何連續條件代入右端)
－+=含義：可將對偶量之間看成沒有任何關係，但應該滿足上述關係方程；這樣，上式就可看成是物理關係的另一種表徵。
4.3 最小勢能原理
（是一種有條件變分原理，只是通過變數的代換，使其最後的變分運算成為無條件變分，即除滿足連續性條件外，對偶變數間還需滿足一定的物理關係）
1. 系統勢能問題
2. 最小勢能原理的表達
3. 證明過程
4. 變分的結果
4.4 最小余能原理
（類似於最小勢能原理，屬有條件變分原理，滿足平衡條件以及力的邊界條件，但變分函
數不同於勢能原理）
1. 餘勢能構造
2. 最小余能原理表述
3. 證明
4. 變分結果
4.5 兩類變數廣義變分原理
上述兩類變分原理所涉及的泛函都取最小值，這是它們共同的優點，為突出這個優點，有時把它們通稱為最小值原理。但在這兩個原理中，自變函式都必須滿足一定的條件，用起來有時會感到不方便。
廣義變分原理中，有關的自變函式可以獨立地變化，變分計算不受任何約束，這是它們的共同優點。但同時也帶來乙個共同的缺點，這就是所涉及的泛函都是駐立值，而不是極值。
1. 目的：將最小勢、余能原理中的條件極值問題轉換為無條件極值問題；
2. 方法：lagrange 乘子。在力學上，還要獲得lagrange 乘子的力學含義，這要依據力學問題的分析才能確定。
3. hellinger-reissner變分原理：是乙個兩變數（ui，ij）的小變形彈性體力學的無條件變分原理。
可以通過lagrange 乘子將最小余能原理中的兩個變分約束解除掉而建立起來。
余能原理滿足的約束條件（應力約束――域內應力平衡方程及力的邊界條件）：
余能原理的變分結果為：euler方程及與給定的位移邊值條件。
即：餘應變能對應力導數表示的變形協調條件：
和已知位移邊界條件在上）
新泛函的構造；引入兩類待定的拉氏乘子和，並認為原余能泛函解除了對應力的約束條件，再應用乘子和上述約束條件構成新的泛函。
進行變分（把）看作獨立變數，得：
利用green 公式：
代入上式，得：
由於在內，在u上，在p上，都是獨立的，於是，得:
４. 結論：
獲得了lagrange乘子的力學含義。
5. 兩類變數廣義余能的hellinger-reissner原理：
即為乙個兩廣義變數的無條件變分原理，變數為：。它的變分駐值給出了域內應變協調條件，在邊界上（包括力邊界和位移邊界），給出了自然邊界條件。
● 對空間彈性力學問題，無論什麼變分原理，積分號下只存在一階導數項，因此它的變分原理原理要求自變函式連續即可，即。相對微分方程問題的函式連續性要求簡單。
● 廣義變分原理對函式的連續性要求更寬鬆，可以是廣義函式。
第五章彈性力學平面問題
5.1 平面變形 (應變) 問題
1. 假設：
①(體積力)； (側表面力)；
②、與z軸無關；
③ 側表面上的位移邊值條件與座標z無關。
2. 平面變形： (在端麵平衡力系(含支反力)作用下)
u = u(x, y), v = v(x, y) 且 w = 0
, , (與z無關)
3. 物理關係 (線彈性)
空間各向同性
=彈性張量：
對稱性：
應力張量:
應變張量:
張量的voiget 記號：
11 22 33 12 23 31
1 2 3 4 5 6
故有:因為；其分量形式： 故可寫成一般工程常見的形式。
應力張量的座標變換
故分量變換式：
同理：平面應變的物理關係：
note：，再代回原空間物理關係，即可獲得；但一般分析時不再給予關心；
2d 與3d 的物理關係形式不變，2d 僅是原關係式的縮減。
4．平衡微分方程：
5.2 平面應力問題
很薄板受邊界載荷作用（載荷沿厚度方向均為常數），位移支撐條件也作用於邊界上。
故內力有簡化關係：
位移：u = u(x,y)；v = v(x, y)；
物理關係：
note:, 但工程不關心，故平面本構關係中不包含z向應變。
2d與3d的物理關係係數不變。
平面變形與平面應力的本構關係變數相同，僅係數不同，可通過形式引數來統一表達平面問題的這兩類關係，故通稱為平面問題，以後不再區分。
5.3 變分原理
1． 勢能變分原理 (單位厚度)
=0 (將應力需先轉換為位移的函式，再求對獨立位移u和v的變分)
理論變分結果：平衡方程（euler方程）及應力邊界上的自然邊界條件。
2． 余能變分原理
理論變分結果：幾何連續性條件，位移邊值條件。
5.4 平面問題的常用有限單元
1． 常應變元
1 節點引數u, v共6個
2 線性插值 (面積座標)
3 導數關係：（幾何矩陣）
注意上式的形狀函式ni 就是面積座標 i，故有：
常應變)
這也是為什麼要逆時針標號的原因。
4 應變能
外力勢5 剛度方程
常應變元的優點是公式簡單，但缺點是收斂性差。為了改進收斂性，可提高插入函式的次數。
2. 高精度三角元
1 二次單元 (12個位移引數,三個角點,3個邊中點)
上式單項式組織起來的單元內插值函式很難說明插值場的連續特性！也很難轉換成面積座標的表達，故使用起來很不方便。現直接構造一種面積座標多項式組合的插值表示式，要注意面積座標基函式具有內嵌性。
注意形狀曲面
後3個單項式的曲面形貌（其他邊上的值為零！）
前3個多項式的曲面形貌
＝由此可以計算應變分量，再進一步計算單元的剛度矩陣，最後得到單元的剛度方程；
再組裝結構剛度矩陣及等效載荷列陣，最後獲得結構剛度方程。
homework :
計算三次元(圖中共有10個節點)的幾何矩陣
3. 四邊形單元
節點位移和節點力系統:
形狀函式(雙線性)
顯見得不再是常數陣，說明應變在平面內線性變化。
2.矩陣平面應力剛陣形成
公式：由於不再是常數陣，只能手工積分每一元素，得到剛陣顯式。
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