專題五方案與設計
⊙熱點一：圖案設計
1．(2023年黑龍江牡丹江)如圖z54，已知乙個等腰三角形的腰長為5，底邊長為8，將該三角形沿底邊上的高剪成兩個三角形，用這兩個三角形能拼成幾種平行四邊形？請畫出所拼的平行四邊形，直接寫出它們的對角線的長，並畫出體現解法的輔助線．
圖z54
2．(2023年江蘇無錫)如圖z55，下面給出的正多邊形的邊長都是20 cm，請分別按下列要求設計一種剪拼方法(用虛線表示你的設計方案，把剪拼線段用粗黑實線，在圖中標註出必要的符號和資料，並作簡要說明)．
(1)將圖z55(1)中的正方形紙片剪拼成乙個底面是正方形的直四稜柱模型，使它的表面積與原正方形面積相等；
(2)將圖z55(2)中的正三角形紙片剪拼成乙個底面是正三角形的直三稜柱模型，使它的表面積與原正三角形的面積相等；
(3)將圖z55(3)中的正五邊形紙片剪拼成乙個底面是正五邊形的直五稜柱模型，使它的表面積與原正五邊形的面積相等．
圖z55
⊙熱點二：方案設計
1．(2023年廣西桂林)在「美麗廣西，清潔鄉村」活動中，李家村村長提出了兩種購買垃圾桶方案；方案1：買分類垃圾桶，需要費用3000元，以後每月的垃圾處理費用250元；方案2：買不分類垃圾桶，需要費用1000元，以後每月的垃圾處理費用500元；設方案1的購買費和每月垃圾處理費共為y1元，交費時間為x個月；方案2的購買費和每月垃圾處理費共為y2元，交費時間為x個月．
(1)直接寫出y1，y2與x的函式關係式；
(2)如圖z56在同一平面直角座標系內，畫出函式y1，y2的圖象；
(3)在垃圾桶使用壽命相同的情況下，哪種方案省錢？
圖z56
2．(2023年廣西賀州)某校為了豐富學生的校園生活，準備購進一批籃球和足球．其中籃球的單價比足球的單價多40元，用1500元購進的籃球個數與900元購進的足球個數相等．
(1)籃球和足球的單價各是多少元？
(2)該校打算用1000元購買籃球和足球，問恰好用完1000元，並且籃球、足球都買有的購買方案有哪幾種？
⊙熱點三：最值問題
1．(2023年四川瀘州)某商店準備購進甲、乙兩種商品．已知甲商品每件進價15元，售價20元；乙商品每件進價35元，售價45元．
(1)若該商店同時購進甲、乙兩種商品共100件，恰好用去2700元，求購進甲、乙兩種商品各多少件？
(2)若該商店準備用不超過3100元購進甲、乙兩種商品共100件，且這兩種商品全部售出後獲利不少於890元，問應該怎樣進貨，才能使總利潤最大，最大利潤是多少(利潤＝售價－進價)．
2．(2023年江蘇南通)某公司營銷a，b兩種產品，根據市場調研，發現如下資訊：
資訊1：銷售a種產品所獲利潤y(單位：萬元)與銷售產品x(單位：噸)之間存在二次函式關係y＝ax2＋bx.
當x＝1時，y＝1.4；當x＝3時，y＝3.6.
資訊2：銷售b種產品所獲利潤y(單位：萬元)與銷售產品x(單位：噸)之間存在正比例函式關係y＝0.3x.
根據以上資訊，解答下列問題；
(1)求二次函式解析式；
(2)該公司準備購進a，b兩種產品共10噸，請設計乙個營銷方案，使銷售a，b兩種產品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少？
方案與設計
熱點一1．解：能拼成3種平行四邊形，如圖86.
圖86圖86(1)中，對角線的長為5；
圖86(2)中，對角線的長為3和＝；
圖86(3)中，對角線的長為4和＝2.
2．解：(1)如圖87(1)，沿黑線剪開，把剪下的四個小正方形拼成乙個正方形，再沿虛線摺疊即可；
(2)如圖87(2)，沿黑線剪開，把剪下的三部分拼成乙個正三角形，再沿虛線摺疊即可；
(3)如圖87(3)，沿黑線剪開，把剪下的五部分拼成乙個正五邊形，再沿虛線摺疊即可．
圖87熱點二
1．解：(1)由題意，得y1＝250x＋3000，y2＝500x＋1000.
(2)如圖88.
圖88(3)由圖象可知：①當使用時間大於8個月時，直線y1落在直線y2的下方，y1＜y2，即方案1省錢；
②當使用時間小於8個月時，直線y2落在直線y1的下方，y2＜y1，即方案2省錢；
③當使用時間等於8個月時，y1＝y2，即方案1與方案2一樣．
2．解：(1)設足球單價為x元，則籃球單價為(x＋40)元，由題意，得＝，解得x＝60，
經檢驗：x＝60是原分式方程的解．則x＋40＝100.
答：籃球和足球的單價分別是100元、60元．
(2)設恰好用完1000元，可購買籃球m個和購買足球n個，由題意，得100m＋60n＝1000.
整理，得m＝10－n.
∵m，n都是整數，∴當n＝5時，m＝7；當n＝10時，m＝4；當n＝15，m＝1.
∴有三種方案：
①購買籃球7個，足球5個；
②購買籃球4個，足球10個；
③購買籃球1個，足球15個．
熱點三1．解：(1)設購進甲種商品x件，購進乙種商品y件，
根據題意，得解得
答：商店購進甲種商品40件，購進乙種商品60件．
(2)設商店購進甲種商品a件，則購進乙種商品(100－a)件，根據題意，得
解得20≤a≤22.
∵總利潤w＝5a＋10(100－a)＝－5a＋1000，
w是關於x的一次函式，w隨x的增大而減小，
∴當x＝20時，w有最大值，此時w＝900，且100－20＝80.
答：應購進甲種商品20件，乙種商品80件，才能使總利潤最大，最大利潤為900元．
2．解：(1)∵當x＝1時，y＝1.4；當x＝3時，y＝3.6，
∴解得∴二次函式解析式為y＝－0.1x2＋1.5x.
(2)設購進a產品m噸，購進b產品(10－m)噸，銷售a，b兩種產品獲得的利潤之和為w元，
則w＝－0.1m2＋1.5m＋0.3(10－m)
＝－0.1m2＋1.2m＋3＝－0.1(m－6)2＋6.6，
∵－0.1＜0，∴當m＝6時，w有最大值6.6.
∴購進a產品6噸，購進b產品4噸，銷售a，b兩種產品獲得的利潤之和最大，最大利潤是6.6萬元．
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