本章總結提公升（每人找一道好題）
例1 如圖1－t－1所示，在矩形abcd中，對角線bd的垂直平分線mn與ad相交於點m，與bc相交於點n，連線bm，dn.
(1)求證：四邊形bmdn是菱形；
(2)若ab＝4，ad＝8，求md的長．
[解析] (1)根據矩形性質求出ad∥bc，根據ob＝od和ad∥bc推出om＝on，得出平行四邊形bmdn，進而根據mn⊥bd推出菱形bmdn.
(2)根據菱形性質求出dm＝bm，在rt△amb中，根據勾股
(3)定理列方程求解．
型別之二矩形的性質與判定
例2 如圖1－t－2所示，已知e是abcd中bc邊的中點，連線ae並延長交dc的延長線於點f.
(1)求證：△abe≌△fce；
(2)連線ac，bf，若∠aec＝2∠abc，求證：四邊形abfc為矩形．
證明：(1)∵四邊形abcd為平行四邊形，
∴ab∥dc，∴∠abe＝∠ecf.
又∵e為bc的中點，∴be＝ce.
又∠aeb＝∠fec，
∴△abe≌△fce(asa)．
(2)∵△abe≌△fce，
∴ab＝cf.
又ab∥cf，∴四邊形abfc為平行四邊形，
∴be＝ec，ae＝ef.
又∵∠aec＝2∠abc，且∠aec為△abe的外角，
∴∠aec＝∠abc＋∠eab，
∴∠abc＝∠eab，
∴ae＝be，
∴ae＋ef＝be＋ec，即af＝bc，
則四邊形abfc為矩形．
型別之三正方形的性質與判定
例3 如圖1－t－3所示，把正方形abcd繞點c按順時針方向旋轉45°得到正方形a′b′cd′(此時，點b′落在對角線ac上，點a′落在cd的延長線上)，a′b′交ad於點e，連線aa′，ce.
求證：(1)△ada′≌△cde；
(2)直線ce是線段aa′的垂直平分線
證明：(1)由正方形的性質及旋轉，得ad＝dc，
∠adc＝90°，ac＝a′c，∠da′e＝45°，
∠ada′＝∠cde＝90°，
∴∠dea′＝∠da′e＝45°.∴da′＝de.
∴△ada′≌△cde
(2)由正方形的性質及旋轉
得cd＝cb′，∠cb′e＝∠cde＝90°，ce＝ce，
∴rt△cb′e≌rt△cde.∴∠dce＝∠b′ce.
∵ac＝a′c，
∴直線ce是線段aa′的垂直平分線．
型別之四矩形摺疊問題
例4 如圖1－t－4所示，abcd是一張邊ab長為2，邊ad長為1的矩形紙片，沿過點
b的摺痕將∠a翻摺，使得點a落在邊cd上的點a′處，摺痕交邊ad於點e.
(1)求∠da′e的大小；
(2)求△a′be的面積；
[解析] (1)由rt△abe≌rt△a′be可
以求出∠da′e＝60°；(2)在rt△a′de中運用勾股定理求出a′e的長，進而求出△a′be的面積．
解：(1)由於rt△abe≌rt△a′be.
則在rt△a′bc中，a′b＝2，bc＝1，得∠ba′c＝30°.
又∠ba′e＝90°，所以∠da′e＝60°.
(2)在rt△a′bc中，a′b＝2，bc＝1，得a′c＝，
所以a′d＝2－.
設ae＝x，則ed＝1－x，a′e＝x.
在rt△a′de中，a′d2＋de2＝a′e2，
即(2－)2＋(1－x)2＝x2，解得x＝4－2，
在rt△a′be中，a′e＝4－2，a′b＝ab＝2，
所以s△a′be＝×2×(4－2)＝4－2.
好題寫到試卷空白處
本章總結歸納 11
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