第一講函式的概念
賽點直擊
一、 函式的定義域
1. 幾種常見的初等函式的定義域.
已知下列函式：①y＝﹙n∈ν*﹚；②y＝；③y＝logq(x)p(x)；④y＝tanp(x)；⑤y＝cotp(x).使各函式式有意義時，p(x)，q(x)的約束條件分別為
1 p(x) ≥0；②q(x) ≠0；
③ 0＜q(x)≠1且p(x)＞0；④p(x) ≠kπ＋﹙k∈ζ﹚；
⑤p(x)≠kπ﹙k∈ζ﹚
2. 復合函式的定義域
已知函式f(x)的定義域為【a,b】,求函式y＝f[g(x)]的定義域的問題。其解題步驟為由a≤g(x)≤b，解出x的範圍，即為函式y＝f[g(x)]的定義域.
若函式關係式是由影象給出的，則可由影象直接觀察函式的定義域.
若函式關係式表示的是乙個實際問題中的兩個變數之間的關係，則要注意實際問題中變數的範圍.
二、 函式的值域
根據函式表示式的形式，值域的求法也各不相同，一般有以下幾種求法：
1. 配方法
如果所給出的函式是二次函式或可化為二次函式的形式，一般可採用配方法進行求解.在求解時要注意作為二次函式形式的自變數的取值範圍.
2. 利用函式的單調性
如果所給出的函式是熟悉的已知函式的形式，那麼可根據函式的影象或利用函式的單調性來判斷.在利用函式的單調性求解時，一定要注意其單調區間.
3. 反函式法
若某函式存在其反函式，則可利用互為反函式的兩個函式的定義域和值域的互反性，該求其反函式的定義域.
4. 判別式法
若將y看成常數，所給函式y＝f(x)便可看成是關於x的方程；若是關於x的二次方程，則可利用判別式δ≥0來求y的取值範圍，但需注意取等號的問題.
5. 變數代換法
乙個複雜的函式，如果將其中得到某個式子看成乙個整體，通過變數代換，就可以化為我們熟知的表示式，這時要注意所代換的表示式的取值範圍.
6. 利用基本不等式
利用代數基本不等式x＋y≥2,x＋y＋z≥3﹙x,y,z＞0﹚等來求函式的值域，也是一種行之有效的方法，但是在使用時要注意是否符合公式的基本要求以及能否取到等號的問題
三、 函式的對應關係
自變數x與函式y的對應關係是指對於自變數x的乙個確定的數值x0（定義域內），應以何種方式求出函式y的對應值y0 ,對應關係一般用f,g等字母表示.
對應關係一般有顯式和隱式之分.顯式一般是用y＝f(x)或其影象，隱式一般可用f所滿足的一些條件的形式給出，例如函式方程的形式.
賽題解析
1. 求下列函式的定義域：
（1） y＝ ；
（2） y＝
解：（1）要使y有意義，則：
x(3－x)≥0, 0≤x≤3
(x－3)2＞0,即： x≠3
(x－3)2≠1, x≠2且x≠4
故定義域為[0,2)∪(2,3).
(2)由題意知，函式的自變數x的取值範圍是
ax－kbx＞0 ,即（）x＞k.因a＞0,b＞0,a≠1,b≠1.則
1 當a＞b＞0,k＞0時, 定義域為
2 當b＞a＞0,k＞0時, 定義域為
3 當0＜a＝b≠1,且0＜k＜1時, 定義域為r.
4 當k≤0時，定義域為r.
說明（1）求函式的定義域一般可轉化為求不等式的解，對於引數，應予以討論
（3） 函式的定義域一般應表示為集合形式或用區間表示
2. 已知a∈(－,0]，函式f(x)的定義域是(0,1]，求
g(x)＝f(x+a)＋f(x-a)＋f(x)的定義域.
【分析】g(x)＝f(x+a)＋f(x-a)＋f(x)的定義域是f(x+a)，f(x-a)，f(x)的定義域的交集，解題時應注意引數a的取值範圍，有時應對a進行分類討論.
解：由題意得：0＜x＋a≤1, ﹣a＜x≤1－a ①
0＜x－a≤1, 即 a＜x≤1＋a ②
0＜x≤1, 0＜x≤1 ③
∵﹣＜a≤0 ,
∴0≤﹣a＜ , 1≤1－a＜, ＜1＋a≤1.
∴不等式組的解為﹣a＜x≤1＋a.
∴g(x)的定義域為（﹣a,1＋a].
【說明】本題中a∈(-,0]給得恰到好處，不然就得對a進行分類討論了；若a的取值範圍使得由①，②，③組成的不等式無解，這時我們千萬不能稱g(x)的定義域是空集，因函式的定義域和值域均不能為空集，而要說這時不存在函式g(x).
3. 求下列函式的值域.
(1)y＝x＋
(2)y＝
(3)y＝㏒
(4)y＝＋
(5)y＝|x＋1|＋|x－1|＋|x＋2|
(6)y＝
(7)y＝x＋(x＞0)
解：（1）令t＝(t≥0),則：
x＝,y＝1－
又t≥0，故y＝1－≤1，即函式的值域為(-∞,1]
(2)因為y＝＝,所以102x＝(y≠1)
且反函式為y＝lg
由＞0知反函式的定義域為(-∞,-1)∪(1,+∞),故原函式的值域為(-∞,-1)∪(1,+∞).
(3)因為2x－x＋3＝－﹙x－1﹚＋4,所以
0＜2x－x＋3≤4.又0.5＜1,由y＝㏒的單調性可知值域為[-2，+∞﹚
(4)方法一： y＝＋≥2＝2≥2＝2
(當且僅當x＝0時取等號)，故值域為[2，+∞﹚
方法二： y＝＋表示為動點
p(x,1)到定點a(1,0),b(-1,0)的距離之和，故y≥2,即值域為[2，+∞﹚
(5) y＝|x＋1|＋|x－1|＋|x＋2|表示數軸點座標為x的點p到點a(-1),b(1),c(-2)的距離之和。畫圖，觀察動點p的位置，顯然可以知當p點落在a(-1)點時，達到最小值3，故值域為[3，+∞﹚
(6)由於y＝＝＝1＋(x≠-3),所以y≠1,且y≠,即值域為(-∞, )∪(,1)∪(1,+ ∞)
(7)由於x＞0，所以y＝x＋＝x＋＋≥3＝,當且僅當x＝，即x＝時等號成立，所以值域為[,+∞﹚.
4. 設f(x)是定義在區間(-∞,+∞)上以2為週期的函式，對於k∈ζ，用ik表示區間(2k－1,2k＋1].已知當x∈i0時，f(x) ＝x.
（1） 求f(x)在ik上的解析式；
（2） 對正整數k，求集合mk＝﹛a|使方程f(x) ＝ax在ik上有兩個不等式的實根﹜
解：（1）由已知得f(x－2k)＝f(x), k∈ζ.
由於當x∈ik＝(2k－1,2k＋1]時，x－2k∈i0＝(-1,1]而當x∈i0 時,有 f(x) ＝x,所以f(x－2k)＝(x－2k),
x∈ik , k∈ζ 即：f(x)＝(x－2k), x∈ik , k∈ζ
(2)當k∈ν*且x∈ik時，由(1)知，所求集合mk是使方程(x－2k)＝ax在(2k－1,2k＋1]( k∈ν*)上有兩個不相等的實根的a的集合，而方程(x－2k)＝ax可化為x－(4k＋a)x＋4k＝0，此方程在區間ik( k∈ν*)上恰有兩個不相等的實根的充要條件是a滿足
δ＝(4k＋a)－16k＝a(a＋8k)＞0,
[4k＋a－]＞2k－1,
[4k＋a＋]≤2k＋1.
化簡得:
a(a＋8k)＞0, ①
＜2＋a, ②
≤2－a, ③
由(1)知a＞0或a＜-8k
當a＞0時，2＋a＞2－a,
則由②③得≤2－a，即:
a(a＋8k)≤(2－a) ,
2－a＞0 ,
解得0＜a≤.當a＜-8k時，2＋a＜2－8k＜0,不等式＜2＋a無解.
綜上所述，a滿足0＜a≤
故所求集合為mk＝﹛a|0＜a≤, k∈ν*﹜
5. 設0≤a＜1時，函式f(x)＝(a－1)x－6ax＋a＋1恒為正，求f(x)的定義域.
【分析】若將f(x)改寫成g(a)( 0≤a＜1)，可知g(a)的影象是一條線段（無右端點），且位於a軸的上方.
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