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學號：最優控制問題方法綜述
一、最優控制（optimal control）的一般性描述：
最優控制是現代控制理論的核心，它研究的主要問題是：根據已建立的被控物件的時域數學模型或頻域數學模型，選擇乙個容許的控制律，使得被控物件按預定的要求執行，並使給定的某一效能指標達到最優值。
使控制系統的效能指標實現最優化的基本條件和綜合方法。可概括為：對乙個受控的動力學系統或運動過程，從一類允許的控制方案中找出乙個最優的控制方案，使系統的運動在由某個初始狀態轉移到指定的目標狀態的同時，其效能指標值為最優。
這類問題廣泛存在於技術領域或社會問題中。例如，確定乙個最優控制方式使空間飛行器由乙個軌道轉換到另一軌道過程中燃料消耗最少。最優控制理論是50年代中期在空間技術的推動下開始形成和發展起來的 。
美國學者r.貝爾曼2023年動態規劃和前蘇聯學者龐特里亞金2023年提出的極大值原理，兩者的創立僅相差一年左右。對最優控制理論的形成和發展起了重要的作用。
線性系統在二次型效能指標下的最優控制問題則是卡爾曼在60年代初提出和解決的。
從數學上看，確定最優控制問題可以表述為：
在運動方程和允許控制範圍的約束下，對以控制函式和運動狀態為變數的效能指標函式（ 稱為泛函 ） 求取極值（ 極大值或極小值）。解決最優控制問題的主要方法有古典變分法（對泛函求極值的一種數學方法）、極大值原理和動態規劃。最優控制已被應用於綜合和設計最速控制系統、最省燃料控制系統、最小能耗控制系統、線性調節器等。
研究最優控制問題有力的數學工具是變分理論，而經典變分理論只能夠解決控制無約束的問題，但是工程實踐中的問題大多是控制有約束的問題，因此出現了現代變分理論。
現代變分理論中最常用的有兩種方法。一種是動態規劃法，另一種是極小值原理。它們都能夠很好的解決控制有閉集約束的變分問題。
值得指出的是，動態規劃法和極小值原理實質上都屬於解析法。此外，變分法、線性二次型控制法也屬於解決最優控制問題的解析法。最優控制問題的研究方法除了解析法外，還包括數值計算法和梯度型法。
最優控制的求解方法包括變分法、極小值原理、動態規劃、線性最優狀態調節器等等。
二、變分法：
最優控制問題是在一定的約束條件下，尋求使效能指標達到極值時的控制函式。當被控物件的運動特性由向量微分方程來描述，效能指標由泛函來表示時，確定最優控制函式（最優控制律）的問題，就成了在微分方程約束下求泛函得極值條件問題。變分法是研究泛函極值問題的數學方法，可以確定容許控制為開集時的最優控制函式。
對無約束的最優控制，通常用變分法求解；對有約束的最優控制，通常用以變分法為基礎的極小值原理求解。
古典變分法只能用在控制變數的取值範圍不受限制的情況。在許多實際控制問題中，控制函式的取值常常受到封閉性的邊界限制，如方向舵只能在兩個極限值範圍內轉動，電動機的力矩只能在正負的最大值範圍內產生等。因此，古典變分法對於解決許多重要的實際最優控制問題，是無能為力的。
三、極值原理：
極值原理，是分析力學中哈密頓方法的推廣。極值原理的突出優點是可用於控制變數受限制的情況，能給出問題中最優控制所必須滿足的條件。用古典變分法求解最優控制問題時，只有當控制向量u(t)不受任何約束，其容許控制集合充滿整個m維控制空間，用古典變分法來處理等式約束條件下的最優控制問題才是行之有效的。
然而。在實際物理系統中，控制向量總是受到一定的限制，容許控制只能在一定的控制域內取值，用古典變分法將難以處理這類問題。例如在時間最優控制問題中，最優控制的取值正是在控制域方體的角點上跳動，這時的u(t)也不再是時間的連續函式，而只是分段連續函式。
而在有些問題中，容許控制集合甚至只是控制空間中一些孤立的點，對這樣的控制問題，古典變分法難以解決。前蘇聯學者龐特里亞金等人在總結並運用古典變分法成果的基礎上，提出了極小值原理，成為控制向量受約束時求解最優控制問題的有效工具，最初應用於連續系統，以後又推廣用於離散系統。
與經典變分法相比，極小值原理的重要意義如下：
1） 容許控制條件放寬了。
2） 最優控制使哈密頓函式取全域性極小值。
3） 極小值原理不要求哈密頓函式對控制的可微性。應用條件進一步放寬。
4） 極小值原理給出了最優控制的必要而非充分條件。換而言之，滿足極小值原理的控制是否真能使效能指標泛函取最小值還需一步判斷。
四、動態規劃：
動態規劃是數學規劃的一種，同樣可用於控制變數受限制的情況，是一種很適合於在計算機上進行計算的比較有效的方法。動態規劃(dynamic programming)是運籌學的乙個分支，是求解決策過程(decision process)最優化的數學方法。20世紀50年代初美國數學家等人在研究多階段決策過程(multistep decision process)的優化問題時，提出了著名的最優化原理(principle of optimality)，把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關係，逐個求解，創立了解決這類過程優化問題的新方法——動態規劃。
2023年出版了他的名著dynamic programming，這是該領域的第一本著作。
動態規劃問世以來，在經濟管理、生產排程、工程技術和最優控制等方面得到了廣泛的應用。例如最短路線、庫存管理、資源分配、裝置更新、排序、裝載等問題，用動態規劃方法比用其它方法求解更為方便。
雖然動態規劃主要用於求解以時間劃分階段的動態過程的優化問題，但是一些與時間無關的靜態規劃(如線性規劃、非線性規劃)，只要人為地引進時間因素，把它視為多階段決策過程，也可以用動態規劃方法方便地求解。
動態規劃程式設計是對解最優化問題的一種途徑、一種方法，而不是一種特殊演算法。不象前面所述的那些搜尋或數值計算那樣，具有乙個標準的數學表示式和明確清晰的解題方法。動態規劃程式設計往往是針對一種最優化問題，由於各種問題的性質不同，確定最優解的條件也互不相同，因而動態規劃的設計方法對不同的問題，有各具特色的解題方法，而不存在一種萬能的動態規劃演算法，可以解決各類最優化問題。
因此讀者在學習時，除了要對基本概念和方法正確理解外，必須具體問題具體分析處理，以豐富的想象力去建立模型，用創造性的技巧去求解。我們也可以通過對若干有代表性的問題的動態規劃演算法進行分析、討論，逐漸學會並掌握這一設計方法。動態規劃包括多級決策問題，離散系統動態規劃，連續動態規劃，動態規劃與極小值原理和變分法等。
五、應用：
隨著社會科技的不斷進步,最優控制理的應用領域十分廣泛，如時間最短、能耗最小、線性二次型指標最優、跟蹤問題、調節問題和伺服機構問題等。但它在理論上還有不完善的地方，其中兩個重要的問題就是優化演算法中的魯棒性問題和最優化演算法的簡化和實用性問題。大體上說，在最優化理論研究和應用方面應加強的課題主要有：
（1）適合於解決工程上普遍問題的穩定性最優化方法的研究；（2）智慧型最優化方法、最優模糊控制器設計的研究；（3）簡單實用的優化整合晶元及最優化控制器的開發和推廣利用；（4）複雜系統、模糊動態模型的辯識與優化方法的研究；相信隨著對這些問題的研究和探索的不斷深入，最優控制技術將越來越成熟和實用，它也將給人們帶來不可限量的影響。
參考文獻
[1]胡壽松.最優控制理論與系統[m].（第二版）北京：科學出版社，2005.
[2]章衛國.先進控制理論與方法導論[m].西安：西北工業大學出版社，2000.
[3]王曉陵.最優化方法與最優控制.哈爾濱工程大學出版，2008.
[4]李國勇.最優控制理論與應用.國防工業出版社，2008.
最優化方法綜述
1.引論 1.1應用介紹 最優化理論與演算法是乙個重要的數學分支，它所研究的問題是討論在眾多的方案中什麼樣的方案最優以及怎樣找出最優方案。這類問題普遍存在。例如，工程設計中怎樣選擇設計引數，使得設計方案滿足設計要求，又能降低成本 資源分配中，怎樣分配有限資源，使得分配方案既能滿足各方面的基本要求，又...
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