例題：引入新課目的：
決策是人們生活和工作中普遍存在的一種活動，是為解決當前或未來可能發生的問題選擇最佳方案的一種過程。由小至個人生活，大至企業經營管理，國家的經濟、政治等問題，引出風險型決策數學模型，並給出此數學模型的期望值決策兩種方法：矩陣決策法與決策樹法。
教學內容
一、風險型決策問題
風險型決策是指在不確定情況下的決策。在風險型決策時，每個備選方案都會遇到幾種不同的可能情況，而且已知出現每一種情況的可能性有多大，即發生的概率有多大，在依據不同概率所擬定的多個決策方案中，選擇一種方案，使其能達到最優期望效益。
【例1】 某企業經過市場調查和**得知，某新產品今後5年中在市場上的銷售為暢銷、一般、滯銷的概率分別0.3，0.5和0.
2。為使該新產品投產，該企業有三種可供選擇的行動方案：第一種方案是投資150萬元新建一車間，按這種方案，市場暢銷、一般和滯銷三種情況下的利潤情況分別為獲利500萬元、250萬元和虧損50萬元；第二種方案是投資60萬元擴建原有車間，在這種方案下，市場暢銷、一般和滯銷三種情況下的利潤情況分別為獲利350萬元、200萬元和50萬元，第三種方案是利用原有車間，在這種方案下，市場暢銷、一般和滯銷三種情況下的利潤情況分別為獲利200萬元、100萬元和0萬，問該企業應確定哪一種決策方案能使5年中的利潤最大。
分析以上問題可以發現，上述決策問題包括下列要素：
（1）自然狀態：它描述了決策問題所處的各種狀態。三種自然狀態，即產品暢銷、一般和滯銷；
（2）行動方案：它是為解決決策問題，決策者可採取的行動。三種，即新建車間、擴建車間和利用原有車間；
（3）狀態概率：它描述自然狀態發生的概率。如暢銷、一般、滯銷的概率分別0.3，0.5和0.2。
（4）後果：它是決策者採取了某一行動方案後可能獲得的結果。三種後果，即產品暢銷時獲利500萬元、銷路一般時獲利250萬元和產品滯銷時虧損50萬元。
風險決策問題通常有兩種數學模型，一是決策矩陣模型；另一種是決策樹模型。
二、決策矩陣模型
【例2】 某公司為了擴大市場，要舉辦乙個產品展銷會，會址打算從甲乙丙三地中選擇：獲利情況除了與會址有關外，還與天氣有關，天氣分為晴、陰、多雨三種，據氣象台預報，估計三種天氣情況可能發生的概率分別為，，，其收益情況見表4－1，現要通過分析，確定會址，使收益最大。
在表4-1中，，，分別表示決策者可能採取的3個行動方案，它們彼此相互獨立。而(睛)， （陰），（多雨）分別表示各個行動方案可能遇到的客觀條件即自然狀態。對風險決策問題，它們是隨機變數，其發生的概率分別為，，。
由於發生這類事件的可能性既是相互排斥的，又是相互獨立的事件，故有。
期望值準則法：把每個行動方案看作隨機變數，在第個自然狀態下的效益值看作隨機變數的取值，其概率為自然狀態出現的概率，把每個行動方案的數學期望計算出來，選擇最優行動方案。
如果決策目標是為了效益最大，則採用期望值最大的行動方案；如果決策目標是為了損益最小，則採用期望值最小的行動方案。
此題決策目標是效益最大，所以計算出各行動方案的期望值，選擇期望值最大的方案。
計算三種方案的期望值分別為
（萬元）
（萬元）
（萬元）
顯然最大，所以採用方案最優，即選擇乙地舉辦展銷會效益最大。
上述過程歸納成矩陣表4－2所示：
把所有期望損益值看作乙個列矩陣，則
=把狀態概率用矩陣表示為
所有方案的風險值(;)用矩陣表示為
a= 把矩陣a與矩陣p相乘，得
ap=即以上三者的關係為
= ap
當決策目標是收益時，應選擇期望值最大的方案為最優方案=max；當決策目標
是損失時，應選擇期望值最小的方案為最優方案=min。
上述期望值可由矩陣的乘法運算得到，故這種風險型決策模型稱為矩陣決策模型。
【例3】用決策矩陣法確定例1中的哪一種行動方案較為合適。
解由於，所以= ap=
建立決策矩陣表，如表4－4所示。
從決策矩陣表的期望值中，我們要減去投資額，得到
投資150萬元新建車間的純收益為（萬元）；
投資60萬元擴建原有車間的純收益為（萬元）；
利用原有生產裝置純收益為（萬元）。
可以看出，投資60萬元擴建原有車間的純收益為萬元，比其它兩種方案的利潤高，
所以選擇擴建原有車間的方案比較合適。
三、決策樹模型
決策樹模型是風險決策問題的一種直觀的圖示法。因為圖的形狀像樹，所以被稱為決策樹。當所要決策問題只需進行一次決策就可解決，叫做單階段決策問題；如果問題比較複雜，而要進行一系列的決策才能解決，就叫做多階段決策問題。
決策樹表示法還方便簡捷、層次清楚，能形象地顯示決策過程。
決策樹的結構如圖4-1所示。圖中的方塊代表決策節點，通常用r表示。從它引出的分枝叫做方案分枝。
每條分枝代表乙個方案，分枝數就是可能的方案數。圓圈代表方案的節點，從它引出概率分枝，每條概率分枝上標明了自然狀態及其發生的概率。概率分枝數反映了該方案面對的可能的狀態數。
末端的三角形叫做結果結點，註有各方案在相應狀態下的結果值。
應用決策樹來作決策的過程，是從右向左逐步後退進行分析。根據右端的損益值和概率枝的概率，計算出期望值的大小，確定方案的期望結果，然後根據不同方案的期望結果作出選擇。方案的捨棄叫做修枝，被捨棄的方案用「≠」的記號來表示，最後的決策點留下一條樹枝，即為最優方案。
【例4】某企業生產某種產品，生產出來後暢銷的概率為0.7，滯銷的概率為0.3。
現有兩種方案：（1）擴大工廠的規模，如果產品暢銷可盈利600萬元，滯銷則虧損200萬元；（2）不改變工廠規模，如果產品暢銷可盈利400萬元，滯銷則盈利100萬元。試問哪一種方案較好？
解 （1）按決策過程將決策的基本要素畫出決策樹，如圖4－2所示的。
（2）計算各節點的期望損益值：
節點 ① ；
節點 ②： ；
（3）進行決策。通過節點值的比較，得到，即節點①的值大於節點②的值，所以應該將節點②剪掉，採用擴建廠房的方案。
【例5】某企業為提高其產品在市場上的競爭力，現擬定三種改革方案：（1）公司組織技術人員逐漸改進技術，使用期是10年；（2）購買先進技術，這樣前期投入相對較大，使用期是10年；（3）前四年先組織技術人員逐漸改進，四年後再決定是否需要購買先進技術，四年後**技術相對第一年便宜一些，收益與前四年一樣。預計該種產品前四年暢銷的概率為0.
7，滯銷的概率為0.3。如果前四年暢銷，後六年暢銷的概率為0.
9；若前四年滯銷，後六年滯銷的概率為0.1。相關的收益資料如表4-5所示。
（1）畫出決策樹；
（2）計算各點的期望值，並做出最優決策。
表4-5 投資收益表單位：萬元
解 （1）畫出決策樹如圖4-3所示。 r為總決策，r1為二級決策。
解 （1）畫出決策樹如圖4-3所示。 r為總決策，r1為二級決策。
節點①表示第一種方案:公司組織技術人員逐漸改進技術，使用期是10年的收益期望值節點; 節點②表示第二種方案: 購買先進技術，使用期是10年的收益期望值節點; 節點③表示第三種方案:
前四年先組織技術人員逐漸改進，四年後購買先進技術的收益值節點。節點④、⑤、⑥、⑦分別是在三種方案下的分枝結點。
（2）各節點的期望值計算從最右邊開始：
節點④：（萬元）
節點①: （萬元）
節點⑤: （萬元）
節點②:（萬元）
節點⑥: （萬元）
節點⑦: （萬元）
因為 ,所以將⑦這一枝剪掉。
節點③：（萬元）
將決策點①、②、③的期望收益值進行比較，決策點③的期望收益值最大，所以應選擇方案（3），即先採取公司組織技術人員逐漸改進，然後再引進技術的決策。
決策樹是用二叉樹形圖來表示處理邏輯的一種工具。決策樹數學模型的優點如下：
（1）它構成了乙個簡單決策過程，可以使決策人有順序有步驟地進行決策；
（2）它比較直觀，可以使決策人以科學的推理步驟去周密地思考各有關因素；
（3）便於集體決策，對要決策的問題畫乙個決策樹出來，便於集體討論；
（4）對於較複雜的決策問題，用決策樹方法比較有效，特別是對多級決策問題來說尤其方便簡捷。
課堂練習：某企業計畫推出一款新型產品，企業的備選方案有三種。一是建立新型的生產線，投入的成本最大，但產出最高；二是改造原來的生產線，投入的成本比新建生產線少，產量也會相應少一些；三是繼續使用原來的生產線，不會投入相應的成本，產量最少。
根據市場需求分析和估計，產品暢銷、一般、滯銷的概率分別為0.3，0.5，0.
2。根據產量和銷量的不同，企業面臨的盈利情況如下表：
試進行決策。
小結：1、風險型決策問題的基本概念
2、期望值決策法：
（1）矩陣決策法；
（2）決策樹法。
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