第九講：二次函式壓軸專題2
三、與圓有關的二次函式綜合題
例1、如圖，在平面直角座標系中，已知拋物線交軸於兩點，交軸於點.
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對稱軸與直線交於點d，作⊙d與x軸相切，⊙d交軸於點e、f兩點，求劣弧ef的長；
（3）p為此拋物線在第二象限影象上的一點，pg垂直於軸，垂足為點g，試確定p點的位置，使得△pga的面積被直線ac分為1︰2兩部分.
變式練習 1、如圖，已知拋物線與軸交於a、b兩點，與軸交於點c，經過a、b、c三點的圓的圓心m(1，m)恰好在此拋物線的對稱軸上的半徑為.設與軸交於d，拋物線的頂點為e
（1）求m的值及拋物線的解析式
（2）設（3）**座標軸上是否存在點p，使得以p、a、c
為頂點的三角形與相似？若存在，請指出點p的位置，並直接寫出點p的座標；若不存在，請說明
理由。2、如圖，已知二次函式y=ax2+bx+3（a≠0）的圖象與x軸交於點a（-1，0）和點b（3，0）兩點（點a在點b的左邊），與y軸交於點c．
（1）求此二次函式的解析式，並寫出它的對稱軸；
（2）若直線l：y=kx（k＞0）與線段bc交於點d（不與點b，c重合），則是否存在這樣的直線l，使得以b，o，d為頂點的三角形與△bac相似？若存在，求出點d的座標；若不存在，請說明理由；
（3）若直線l′：y=m與該拋物線交於m、n兩點，且以mn為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．
3、已知：在平面直角座標系中xoy中，一次函式y＝kx－6k的圖象與x軸交於點a，拋物線y＝ax＋bx＋c經過o、a兩點．
(1)試用含a的代數式表示b；
(2)設拋物線的頂點為d，以d為圓心，da長為半徑的圓被x軸分為劣弧和優弧兩部分．若將劣弧沿x軸翻摺，翻摺後的劣弧落在⊙d內，它所在的圓恰好與od相切，求⊙d的半徑長及拋物線的解析式；
(3)設點b是滿足(2)中條件的優弧上的乙個動點，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點p，使得∠poa＝∠oba？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
四、二次函式實際應用題
例2 2023年上半年，某種農產品受不良炒作的影響，**一路上揚，8月初國家實施調控措施後，該農產品的**開始回落.其中，1月份至7月份，該農產品的月平均**y元/千克與月份x呈一次函式關係；7月份至12月份，月平均**元/千克與月份x呈二次函式關係.已知1月、7月、9月和12月這四個月的月平均**分別為8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.
（1）分別求出當1≤x≤7和7≤x≤12時，y關於x的函式關係式；
（2）2023年的12個月中，這種農產品的月平均**哪個月最低？最低為多少？
（3）若以12個月份的月平均**的平均數為年平均**，月平均**高於年平均**的月份有哪些？
例3 我市某鎮的一種特產由於運輸原因，長期只能在當地銷售．當地**對該特產的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤（萬元）．當地**擬在「十二五」規劃中加快開發該特產的銷售，其規劃方案為：在規劃前後對該專案每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用於修建一條公路，兩年修成，通車前該特產只能在當地銷售；公路通車後的3年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：
每投入x萬元，可獲利潤（萬元）
⑴若不進行開發，求5年所獲利潤的最大值是多少？
⑵若按規劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路後）的最大值是多少？
⑶根據⑴、⑵，該方案是否具有實施價值？
課後練習
1、星光中學課外活動小組準備圍建乙個矩形生物苗圃園．其中一邊靠牆，另外三邊用長為30公尺的籬笆圍成．已知牆長為18公尺（如圖所示），設這個苗圃園垂直於牆的一邊的長為x公尺．
（1）若平行於牆的一邊的長為y公尺，直接寫出y與x之間的函式關係式及其自變數x的取值範圍；
（2）垂直於牆的一邊的長為多少公尺時，這個苗圃園的面積最大，並求出這個最大值；
（3）當這個苗圃園的面積不小於88平方公尺時，試結合函式影象，直接寫出x的取值範圍．
2、在平面直角座標系xoy中，△abc的a、b兩個頂點在x軸上，頂點c在y軸的負半軸上．已知|oa|：|ob|=1：5，|ob|=|oc|，△abc的面積s△abc=15，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過a、b、c三點．
（1）求此拋物線的函式表示式；
（2）設e是y軸右側拋物線上異於點b的乙個動點，過點e作x軸的平行線交拋物線於另一點f，過點f作fg垂直於x軸於點g，再過點e作eh垂直於x軸於點h，得到矩形efgh．則在點e的運動過程中，當矩形efgh為正方形時，求出該正方形的邊長；
（3）在拋物線上是否存在異於b、c的點m，使△mbc中bc邊上的高為？若存在，求出點m的座標；若不存在，請說明理由．
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