二項分布
1．次獨立重複試驗
一般地，由次試驗構成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結果僅有兩種對立的狀態，即與，每次試驗中。我們將這樣的試驗稱為次獨立重複試驗，也稱為伯努利試驗。
（1）獨立重複試驗滿足的條件第一：每次試驗是在同樣條件下進行的；第二：各次試驗中的事件是互相獨立的；第三：每次試驗都只有兩種結果。
（2）次獨立重複試驗中事件恰好發生次的概率。
2．二項分布
若隨機變數的分布列為，其中則稱服從引數為的二項分布，記作。
1．一盒零件中有9個**和3個次品，每次取乙個零件，如果取出的次品不再放回，求在取得**前已取出的次品數的概率分布。
2.一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有6個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，並且概率都是.
(1)設為這名學生在途中遇到紅燈的次數，求的分布列；
(2)設為這名學生在首次停車前經過的路口數，求的分布列；
(3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率.
3.甲乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為.
（1）記甲擊中目標的此時為，求的分布列及數學期望；
（2）求乙至多擊中目標2次的概率；
（3）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率.
【鞏固練習】
1.已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規定:取出乙個白球的2分,取出乙個黑球的1分.現從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變數x為取出3球所得分數之和.
(ⅰ)求x的分布列;
(ⅱ)求x的數學期望e(x).
2甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球,.約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響.
(ⅰ) 求甲獲勝的概率;
(ⅱ) 求投籃結束時甲的投籃次數的分布列與期望
3．設籃球隊與進行比賽，每場比賽均有一隊勝，若有一隊勝場則比賽宣告結束，假定在每場比賽中獲勝的概率都是，試求需要比賽場數的期望．
3．電視傳媒公司為了了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調查.下面是根據調查結果繪製的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖;
將日均收看該體育節目時間不低於40分鐘的觀眾稱為「體育迷」.
(ⅰ)根據已知條件完成下面的列聯表,並據此資料你是否認為「體育迷」與性別有關?
(ⅱ)將上述調查所得到的頻率視為概率.現在從該地區大量電視觀眾中,採用隨機抽
樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的「體育迷」人數為x.若每次抽取的結果是相互獨立的,求x的分布列,期望和方差.
5.某項選拔共有三輪考核，每輪設有乙個問題，能正確回答問題者進入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第
一、二、三輪的問題的概率分別為、、，且各輪問題能否正確回答互不影響.
（ⅰ）求該選手被淘汰的概率；
（ⅱ）該選手在選拔中回答問題的個數記為ξ，求隨機變數ξ的分布列與數數期望.（注：本小題結果可用分數表示）
6. 一批產品共10件，其中7件**，3件次品，每次從這批產品中任取一件，在下述三種情況下，分別求直至取得**時所需次數的概率分別布.
(1)每次取出的產品不再放回去；
（2）每次取出的產品仍放回去；
（3）每次取出一件次品後，總是另取一件**放回到這批產品中.
7. 設b和c分別是先後拋擲一枚骰子得到的點數，用隨機變數ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數（重根按乙個計）．
（i）求方程x2+bx+c=0有實根的概率；
（ii）求ξ的分布列和數學期望；
8.（本題滿分12分）某商場為吸引顧客消費推出一項優惠活動.活動規則如下：
消費額每滿100元可轉動如圖所示的轉盤一次，並獲得相應金額的返券，假定指標等可能地停在任一位置. 若指標停在a區域返券60元；停在b區域返券30元；停在c區域不返券. 例如：
消費218元，可轉動轉盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和.
（i）若某位顧客消費128元，求返券金額不低於30元的概率；
（ii）若某位顧客恰好消費280元，並按規則參與了活動，他獲得返券的金額記為（元），求隨機變數的分布列和數學期望.
9. (本題滿分12分)中國黃石第三屆國際礦冶文化旅遊節將於2023年8月20日在黃石鐵山舉行，為了搞好接待工作，組委會準備在湖北理工學院和湖北師範學院分別招募8名和12名志願者，將這20名志願者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）
若身高在175cm以上（包括175cm）定義為「高個子」，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為「非高個子」，且只有湖北師範學院的「高個子」才能擔任「兼職導遊」。
（1）根據志願者的身高編莖葉圖指出湖北師範學院志願者身高的中位數；
（2）如果用分層抽樣的方法從「高個子」和「非高個子」中抽取5人，再從這5人中選2人，那麼至少有一人是「高個子」的概率是多少？
（3）若從所有「高個子」中選3名志願者，用表示所選志願者中能擔任「兼職導遊」的人數，試寫出的分布列，並求的數學期望。
10.某產品按行業生產標準分成8個等級，等級係數x依次為1,2，……，8，其中x≥5為標準a，x≥3為標準b，已知甲廠執行標準a生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執行標準b生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產品都符合相應的執行標準
（i）已知甲廠產品的等級係數x1的概率分布列如下所示：
且x1的數字期望ex1=6，求a，b的值；
（）為分析乙廠產品的等級係數x2，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級係數組成乙個樣本，資料如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級係數x2的數學期望.
11. 受轎車在保修期內維修費等因素的影響，企業產生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關，某轎車製造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統計書資料如下：
將頻率視為概率，解答下列問題：
（i）從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率；
（ii）若該廠生產的轎車均能售出，記住生產一輛甲品牌轎車的利潤為，生產一輛乙品牌轎車的利潤為，分別求，的分布列；
（iii）該廠預計今後這兩種品牌轎車銷量相當，由於資金限制，只能生產其中一種品牌轎車，若從經濟效益的角度考慮，你認為應該產生哪種品牌的轎車？說明理由。
鞏固練習答案
【解析】本題主要考察分布列,數學期望等知識點.
(ⅰ) x的可能取值有:3,4,5,6.
; ;
; .
故,所求x的分布列為
(ⅱ) 所求x的數學期望e(x)為:
e(x)=. 【答案】(ⅰ)見解析;(ⅱ).
【考點定位】本題考查離散隨機變數的分布列和期望與相互獨立事件的概率,考查運用概率知識解決實際問題的能力,相互獨立事件是指兩事件發生的概率互不影響,注意應用相互獨立事件同時發生的概率公式.
解:設分別表示甲、乙在第次投籃投中,則
, ,(1)記「甲獲勝」為事件c,由互斥事件有乙個發生的概率與相互獨立事件同時發生的概率計算公式知,
(2)的所有可能為:
由獨立性知:
綜上知,有分布列
從而, (次)
3. 解：（1）事件「」表示，勝場或勝場（即負場或負場），且兩兩互斥．
；（2）事件「」表示，在第5場中取勝且前場中勝3場，或在第5場中取勝且前場中勝3場（即第5場負且場中負了3場），且這兩者又是互斥的，所以
（3）類似地，事件「」、 「」的概率分別為
，比賽場數的分布列為
故比賽的期望為（場）
這就是說，在比賽雙方實力相當的情況下，平均地說，進行6場才能分出勝負．
4.【答案及解析】
(i)由頻率頒布直方圖可知,在抽取的100人中,「體育迷」有25人,從而2×2列聯表如下:
由2×2列聯表中資料代入公式計算,得:
因為3.030<3.841,所以,沒有理由認為「體育迷」與性別有關.
(ii)由頻率頒布直方圖知抽到「體育迷」的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名「體育迷」的概率為,由題意,
,從而x的分布列為:
【點評】本題主要考查統計中的頻率分布直方圖、獨立性檢驗、離散型隨機變數的分布列,期望和方差,考查分析解決問題的能力、運算求解能力,難度適中.準確讀取頻率分布直方圖中的資料是解題的關鍵.
5.（ⅰ）解法一：記「該選手能正確回答第輪的問題」的事件為，
則，，，
該選手被淘汰的概率
．（ⅰ）解法二：記「該選手能正確回答第輪的問題」的事件為，
則，，．
該選手被淘汰的概率
．（ⅱ）的可能值為，，，．
的分布列為
．6.（1）x的所有可能值為1，2，3，4。x的分布列為
p(x=1)=7/10，
p(x=2)=3/10×7/9=7/30，
p(x=3)=3/10×2/9×7/8=7/120，
p(x=4)=3/10×2/9×1/8=1/120。
（2）x的所有可能值為1，2，3，4。x的分布列為
p(x=k)=，k=1，2，3，……
（3）x的所有可能值為1，2，3，4。x的分布列為
p(x=1)=7/10，
p(x=2)=3/10×8/10=6/25，p(x=3)=3/10×2/10×9/10=27/500，
p(x=4)=3/10×2/10×1/10=3/500。
7. 解：（i）由題意知，本題是乙個等可能事件的概率，
試驗發生包含的基本事件總數為6×6=36，
滿足條件的事件是使方程有實根，則△=b2-4c≥0，即b≥
超幾何分布與二項分布
知識與技能 1 進一步了解並熟悉超幾何分布與二項分布產生的實際背景，理解超幾何分布的匯出過程，理解獨立重複試驗與二項分布的關係，進一步建構並完善知識體系與結構 2 明確兩種分布基本特徵，能正確區分兩種分布，能準確運用兩種概率分布分析解決實際問題 3 訓練提公升運算能力 數學閱讀與理解能力，分析與解決...
2 2二項分布及其應用
學校 寧陽復聖中學製作 寧尚臣班級姓名 學習目標 理解兩個事件相互獨立的概念，能進行一些與事件獨立有關的概率的計算 理解n次獨立重複試驗的模型及二項分布，能進行一些相關的概率的計算。學習重點 難點 獨立事件同時發生的概率的計算 理解n次獨立重複試驗的模型及二項分布，能進行相關的概率的計算.一 知識梳...
關於超幾何分布和二項分布小區別
徐峰在教學過程中發現學生在學習完超幾何分布和二項分布以後，學生不能正確的理解好什麼是超幾何分布 古典概型利用組合數計數 什麼是二項分布 利用獨立性，互斥性 及其區別.下面我通過幾個例子說明一下兩者的區別 超幾何分布 在產品質量的不放回抽檢中，若n件產品中有m件次品，抽檢n件時所得次品數x k 則p ...