日期 2006.9.20 學號 2314130 班級信科41 姓名劉建煒
【實驗課題】 捨入誤差對計算的影響、數值微分精度與步長的關係
【實驗目標】
1. 理解數值計算中的兩類主要誤差的概念：截斷誤差與捨入誤差。
2. 初步了解：演算法的選擇帶來不同的截斷誤差，從而使得計算結果的精度不同。
3. 初步體會捨入誤差對計算結果的影響－－數值微分中適當選取步長。
【理論概述與演算法描述】
1. 由導數定義得導數的一種近似公式。
演算法1.
利用泰勒公式可匯出演算法1的截斷誤差：
.當函式f(x)在x0的鄰域內二階連續可導時，可得截斷誤差界：
其中是常數.
2. 由等式，得到導數的另一種近似公式。
演算法2：
利用taylor定理可得，.
兩式相減得演算法2的截斷誤差
當函式f(x)在x0的鄰域內三階連續可導時，可得截斷誤差界：
其中是常數.
我們知道，不論採用何種演算法，一般說來計算結果都是有誤差的。本實驗要求分別對以上兩種數值微分的演算法，依次取不同步長進行導數值的近似計算，並同時算出誤差。從上面的理論分析可預見：
（1）對每一種演算法，步長越小，誤差越小。
（2）對演算法1：步長減半時，誤差應大致減小為1/2；對演算法2：步長減半時，誤差應大致減小為1/4。
（3）對同樣的步長，演算法2比演算法1更精確。
【實驗問題】
計算函式在和處的導數值。
【實驗過程與結果】
1. 設函式，對h=10-1, 10-2,…,10-10，用演算法1:
編寫程式計算，並給出截斷誤差，觀察截斷誤差隨步長變化而變化的規律。（計算結果略）
2. 對上述函式f, 計算, 並給出截斷誤差，觀察截斷誤差隨步長變化而變化的規律。（計算結果略）
3. 對函式, 重複上述兩步。（計算結果略）
4. 用演算法2:，編寫程式重複上述各步。（計算結果略）
【結果分析、討論與結論】
【結果分析】
1. 驗證理論分析的正常結果。由上面各部計算結果看，誤差與演算法有關。
對給定函式和同樣的步長h，演算法2的結果更為精確，即演算法2的所得函式導數值的誤差更小。這個結果驗證了上面的關於兩種演算法理論分析。
2. 意外現象及其解釋。觀察上面步驟1的結果發現，當逐步減小步長到一定數量級時，出現了意外現象：
步長隨著步長的減小，誤差反而增大。這與理論預見相衝突。我們認為這種現象是由於計算過程中捨入誤差的累積所致。
3. 最佳步長的探索。於是對這類問題，實際上存在乙個「最佳步長」。為了得到這個最小步長，繪出步長---誤差圖形（圖略）。結果如下：
（1）對於, 使用演算法1時，最佳步長為：10-8 ，在x=0,1；使用演算法2時，最佳步長為：10-7 , 在x=0,1；
（2）對於, 使用演算法1時，最佳步長為：10-8 ，在x=0,1；使用演算法2時，最佳步長為：10-7 ，在x=0,1。
【結論】
(1)一般說來數值微分的演算法2比演算法1更精確。
(2) 在涉及選取一定步長的計算問題中，一般在理論上認為，誤差隨步長減小而減小。但在實際計算時，當步長減小到一定程度時，由於舍人誤差的積累，誤差反而增大，因此存在所謂「最佳步長」。
(3) 最佳步長依賴於演算法，與函式和點的選取無關。
【附程式】
1. 用演算法1計算導數的程式略）。
2. 用演算法2計算導數的程式略）。
語法分析實驗報告樣例
呼叫上次實驗編寫的詞法分析程式，實現 類pascal語言子集 的語法分析功能。該語言的語法元素包括以下幾條 程式開始符號 program 變數定義 varint string a,b,c,賦值語句 x a b c 復合語句 以begin end作為開始和結束的語句 分支語句 if then，if t...
數值分析實驗報告
實驗一題目一 已知函式表如下 試用三次lagrange插值多項式求x 0.5635時的函式值。解 lagrange插值法公式 程式框圖如下 本題中n 4 分析設計思想 設計思路如上面的流程圖所示，用我們學過的c語言程式設計實現。程式清單 include include include float l...
數值分析實驗報告
數值分析 課程設計實驗報告模板 常微分方程資料值解 用龍格 庫塔法分析lorenz方程的特性 一 考慮著名的lorenz方程 其中s，r，b為變化區域內有一定限制的實引數，該方程形式簡單，表面上看並無驚人之處，但由該方程揭示出的許多現象，促使 混沌 成為數學研究的嶄新領域，在實際應用中產生了巨大的影...