數值分析實驗報告

數值實驗題1

實驗1.1 病態問題

實驗目的：

演算法有「優」與「劣」之分，問題也有「好」與「壞」之別。對數值方法的研究而言，所謂壞問題是指問題本身對擾動敏感，反之屬於好問題。本實驗通過對乙個高次多項式方程的求解，初步認識病態問題。

實驗內容：

考慮乙個高次的代數多項式

e.1.1)

顯然該多項式的全部根為1，2，…，20，共計20個，且每個根都是單重的(也稱為簡單的)。現考慮該多項式的乙個擾動e.1.2)

其中，ε是乙個非常小的數。這相當於是對方程(e.1.

1)中x19的係數作乙個小的擾動。比較方程(e.1.

1)和方程(e.1.2)根的差別，從而分析方程(e.

1.1)的解對擾動的敏感性。

實驗步驟與結果分析：

(一) 實驗源程式

function t_charpt1_1

% 數值實驗1.1病態問題

% 輸入：[0 20]之間的擾動項及小的擾動常數

% 輸出：加擾動後得到的全部根

clcresult=inputdlg(,'charpt 1_1',1,);

numb=str2num(char(result));

if((numb>20)|(numb<0))errordlg('請輸入正確的擾動項:[0 20]之間的整數!');return;end

result=inputdlg(,'charpt 1_1',1,);

ess=str2num(char(result));

ve=zeros(1,21);

ve(21-numb)=ess;

root=roots(poly(1:20)+ve);

x0=real(root); y0=imag(root);

plot(x0',y0', '*');

disp(['對擾動項 ',num2str(numb),'加擾動',num2str(ess),'得到的全部根為:']);

disp(num2str(root));

(二)實驗結果分析

(1) 對於x19項的擾動ess，不同的取值對應的結果如下所示。

● 對擾動項 19加擾動1e-010得到的全部根為:

19.9961，19.0257，17.

9085，17.1508，15.7982，15.

181，13.8995，13.0571，11.

9753，11.0109，9.99608，9.

00111，7.99978，7.00003，6，5，4，3，2，1。

● 對擾動項 19加擾動1e-009得到的全部根為:

19.952，19.2293，17.

6573+0.692896i，17.6573-0.

692896i，15.4524+0.875524i，15.

4524-0.875524i，13.3527+0.

486992i，13.3527-0.486992i，11.

8578，11.0427，9.9916，9.

00201，7.99952，7.00009，5.

99999，5，4，3，2，1。

● 對擾動項 19加擾動1e-007得到的全部根為:

20.422+0.999203i，20.

422-0.999203i，18.1572+2.

4702i，18.1572-2.4702i，15.

3149+2.69865i，15.3149-2.

69865i，12.8466+2.06246i，12.

8466-2.06246i，10.9216+1.

10366i，10.9216-1.10366i，9.

56629，9.11508，7.99387，7.

00027，6，5，4，3，2，1。

● 對擾動項 19加擾動1e-005得到的全部根為:

22.5961+2.3083i，22.

5961-2.3083i，18.8972+5.

00563i，18.8972-5.00563i，14.

9123+4.95848i，14.9123-4.

95848i，12.0289+3.73551i，12.

0289-3.73551i，10.059+2.

33021i，10.059-2.33021i，8.

63828+1.0564i，8.63828-1.

0564i，7.70896，7.028，5.

99942，5.00001，4，3，2，1。

根在復平面上的位置如圖所示：

圖 ess=1e-010圖 ess=1e-009

圖 ess= 1e-007圖 ess=1e-005

從實驗的圖形中可以看出，當ess充分小時，方程e.1.1和方程e.

1.2的解相差很小，當ess逐漸增大時，方程的解就出現了病態解，這些解都呈現復共軛性質。並且，病態解首先出現在x=16這個解附近，如ess=1e-009時，x=20，19，12，11，…，2，1的解基本誤差不大。

在x=16附近，擾動後的解偏離實軸程度較嚴重，隨著ess的增大，擾動對解的影響從x=16附近開始向兩邊波及，並且偏離實軸的幅度越來越大。x=0，1，2，3，4，5這些階次較小的解對x19上的擾動最不敏感。

(2)將擾動項加到x18上後，ess=1e-009時方程的解都比較準確，沒有出現復共軛現象。

ess=1e-008時誤差與x19(ess=1e-009)時相當，即擾動加到x18上比加到x19小乙個數量級。

對x8的擾動ess=1000時沒有出現復共軛，誤差很小；對x的擾動ess=10e10時沒有出現復共軛，誤差很小。因此，擾動作用到xn上時，n越小，擾動引起的誤差越小。

(3)令e.3.1)

的零點均為ε的函式，分別它們記為，顯然有。研究關於ε的變化情況，將表示為

e.3.2）

關於ε的變化或敏感程度可以用其導數表示，故在（e.3.2）兩邊關於ε求導：

e.3.3）

為了知道原方程的根是如何受擾動ε的影響，需要知道。在（e.3.3）兩邊令ε，得到

e.3.4)

在令，則得，即

e.3.5）

由於，故e.3.6）

計算表明，對根1，此導數的絕對值只有，極其微小；但從第7個根起，此導數的絕對值就從開始，最大直到，非常大！所以必定造成病態。這就是根源。

現在來估計擾動對根的影響。對根的影響，由（e.3.5）可得條件數

e.3.7）

經過計算發現，擾動對的影響最大，對的影響最小,與實際計算結果一致。

實驗1.2 誤差傳播與演算法穩定性

實驗目的：

體會穩定性在選擇演算法中的地位。誤差擴張的演算法是不穩定的，是我們所不期望的；誤差衰竭的演算法是穩定的，是我們努力尋求的。

實驗內容：

考慮乙個由積分定義的序列 (e.1.4)

顯然en>0，n=1，2，…當n=1時，利用部分積分得e1=1/e。

而對n≥2，經分部積分可得遞推關係 en=1-nen-1, n=2,3,… (e.1.5)

由式(e.1.4)得 en≤1/(n+1)。

由遞推關係式(e.1.5)，可得計算式(e.1.4)積分序列的兩種演算法。其一為式(e.1.5)的直接應用，即

e1=1/e, en= 1 – nen-1, n=2, 3, … (e.1.7)

另一種演算法則是利用式(e.1.5)變形得到

en=0，en-1=(1- en)/n, n= n-1, n-2, …, 3, 2. (e.1.8)

實驗步驟及結果分析：

(一)實驗源程式

function t_charpt1_2

% 數值實驗1.2:誤差傳播與演算法穩定性

% 輸入:遞推式選擇及遞推步數

% 輸出：各步遞推值及誤差結果，以及遞推值和誤差與遞推步數的關係圖

clcpromps=;

result=inputdlg(promps,'charpt 1_2',1,);

nb = str2num(char(result));

if((nb~=1)&(nb~=2)) errordlg('請選擇遞推關係式，若選e.1.7,請輸入1，否則輸入2!');return;end

result=inputdlg(,'charpt 1_2',1,);

steps=str2num(char(result));

if(steps<1)errordlg('遞推步數錯誤!');return;end

result=zeros(1,steps); err=result;

if(nb==1)

n=1; result(n)=1/exp(1);

while(n result(n+1)=1-n*result(n);

err(n+1)=abs(result(n+1)-func(n+1));

n=n+1;

endelseif(nb==2)

n=steps;

err(n)=abs(result(n)-func(n));

while(n>1)

result(n-1)=(1-result(n))/n;

err(n-1)=abs(result(n-1)-func(n-1));

n=n-1;

endenddisp(['遞推值:',num2str(result)]);

disp(['誤差:',num2str(err)]);

plot([1:steps],result,'-');

grid on

hold on;

plot([1:steps],err,'r--');

xlabel('n'); ylabel('en- and errn--');

text(2,err(2),'\uparrow err(n)');

text(4,result(4),'\downarrow en');

function en=func(n)

% 計算en的精確值

if(n==1)

en=1/exp(1);

else

en=1-n*func(n-1);

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