美博教育任意角與弧度制
知識梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推廣
定義：一條射線oa由原來的位置，繞著它的端點o按一定的方向旋轉到另一位置ob，就形成了角，記作：角或可以簡記成。
注意：（1）「旋轉」形成角，突出「旋轉」
（2）「頂點」「始邊」「終邊」「始邊」往往合於軸正半軸
（3）「正角」與「負角」——這是由旋轉的方向所決定的。
例1、若，求和的範圍。（0,45） （180,270）
2、角的分類：
由於用「旋轉」定義角之後，角的範圍大大地擴大了。可以將角分為正角、零角和負角。
正角：按照逆時針方向轉定的角。
零角：沒有發生任何旋轉的角。
負角：按照順時針方向旋轉的角。
例2、（1）時針走過2小時40分，則分針轉過的角度是
（2）將分針撥快10分鐘，則分針轉過的弧度數是
3、 「象限角」
為了研究方便，我們往往在平面直角座標系中來討論角，角的頂點合於座標原點，角的始邊合於軸的正半軸。
角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角
角的終邊落在座標軸上，則此角不屬於任何乙個象限，稱為軸線角。
例1、30 ；390 ；330是第象限角 300 ； 60是第象限角
585 ； 1180是第象限角2000是第象限角。
例2、（1）a=，b=，則a∩b= （填序號）.
①③ ，b=，c=，那麼a、b、c關係是（ ）
a．b=a∩c b．b∪c=c c．ac d．a=b=c
例3、寫出各個象限角的集合：
例4、若是第二象限的角，試分別確定2, 的終邊所在位置.
解 ∵是第二象限的角，
∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈z）.
（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈z），
∴2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.
（2）∵k·180°+45°＜ ＜k·180°+90°（k∈z），
當k=2n（n∈z）時，
n·360°+45°＜＜n·360°+90°；
當k=2n+1（n∈z）時，
n·360°+225°＜＜n·360°+270°.
∴是第一或第三象限的角.
拓展：已知是第三象限角，問是哪個象限的角？
∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈z），
60°+k·120°＜＜90°+k·120°.
①當k=3m(m∈z)時，可得
60°+m·360°＜＜90°+m·360°（m∈z）.
故的終邊在第一象限.
②當k=3m+1 (m∈z)時，可得
180°+m·360°＜＜210°+m·360°（m∈z).
故的終邊在第三象限.
③當k=3m+2 （m∈z）時，可得
300°+m·360°＜＜330°+m·360°（m∈z）.
故的終邊在第四象限.
綜上可知，是第
一、第三或第四象限的角.
4、常用的角的集合表示方法
1、終邊相同的角：
（1）終邊相同的角都可以表示成乙個0到360的角與個周角的和。
（2）所有與終邊相同的角連同在內可以構成乙個集合
即：任何乙個與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和
注意：1、
2、是任意角
3、終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同。終邊相同的角有無數個，它們相差360°的整數倍。
4、一般的，終邊相同的角的表達形式不唯一。
例1、（1）若角的終邊與角的終邊相同，則在上終邊與的角終邊相同的角為
若θ角的終邊與8π/5的終邊相同
則有：θ=2kπ+8π/5 (k為整數)
所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5
當：0≤kπ/2+2π/5≤2π
有：k=0 時，有2π/5 與θ/4角的終邊相同的角
k=1 時，有9π/10 與θ/4角的終邊相同的角
（2）若是終邊相同的角。那麼在
例2、求所有與所給角終邊相同的角的集合，並求出其中的最小正角，最大負角：
（12）．
例3、求，使與角的終邊相同，且．
2、終邊在座標軸上的點：
終邊在x軸上的角的集合：
終邊在y軸上的角的集合：
終邊在座標軸上的角的集合：
3、終邊共線且反向的角：
終邊在y=x軸上的角的集合：
終邊在軸上的角的集合：
4、終邊互相對稱的角：
若角與角的終邊關於x軸對稱，則角與角的關係：
若角與角的終邊關於y軸對稱，則角與角的關係：
若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關係：
角與角的終邊互相垂直，則角與角的關係：
例1、若，則角與角的中變得位置關係是（ ）。
a.重合 b.關於原點對稱 c.關於x軸對稱 d.有關於y軸對稱
例2、將下列各角化成0到的角加上的形式
（12）
例3、設集合,
,求,.
二、弧度與弧度制
1、弧度與弧度制：
弧度制—另一種度量角的單位制， 它的單位是rad 讀作弧度
定義：長度等於的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。
如圖：aob=1rad ，aoc=2rad ， 周角=2rad
注意：1、正角的弧度數是正數，負角的弧度數是負數，零角的弧度數是0
2、角的弧度數的絕對值 （為弧長，為半徑）
3、用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數量相同（都是0）
用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數也不同。
4、在同乙個式子中角度、弧度不可以混用。
2、角度制與弧度制的換算
弧度定義：對應弧長等於半徑所對應的圓心角大小叫一弧度
角度與弧度的互換關係：∵ 360= rad 180= rad
1=注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.
例1、 把化成弧度
例2、 把化成度
例3、將下列各角從弧度化成角度
（1）rad2）2.1 rad3）
例4、用弧度制表示：1終邊在軸上的角的集合 2終邊在軸上的角的集合
三、弧長公式和扇形面積公式
例1、已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的中心角的弧度數是 1或4 .
例2、若兩個角的差為1弧度，它們的和為，求這連個角的大小分別為
例3、 直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對的弧長
例4、（1）乙個半徑為r的扇形，若它的周長等於弧所在的半圓的長，那麼扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇
形的面積是多少？
（2）一扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角等於多少弧度時，這個扇形的面積最大？
.例5、（1）已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數；
（2）已知扇形的周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？
（七）任意角的三角函式（定義）
1． 設是乙個任意角，在的終邊上任取（異於原點的）一點p（x,y），則p與原點的距離
2．比值叫做的正弦記作： ；比值叫做的余弦記作：
比值叫做的正切記作： ；比值叫做的餘切記作：
比值叫做的正割記作： ；比值叫做的餘割記作：
注意突出幾個問題：①角是「任意角」，當=2k+(kz)時，與的同名三角函式值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函式值相等。
②實際上，如果終邊在座標軸上，上述定義同樣適用。③三角函式是以「比值」為函式值的函式
④，而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函式的符號應由象限確定
三角函式在各象限的符號
⑤定義域：
4. 是第二象限角，p（x，）為其終邊上一點，且cos=,則sin
. 已知角的終邊落在直線y=-3x (x＜0)上，則 2 .
例8、 已知的終邊經過點p(2,3)，求的六個三角函式值
例9、 求下列各角的六個三角函式值
0例10、 ⑴ 已知角的終邊經過p(4,3),求2sin+cos的值
⑵已知角的終邊經過p(4a,3a),(a0)求2sin+
三角函式複習知識點一任意角 弧度制及任意角的三角函式
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