――概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結
十三.導數
1、導數的背景：（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；（3）邊際成本。 如一物體的運動方程是，其中的單位是公尺，的單位是秒，那麼物體在時的瞬時速度為_____（答：5公尺/秒）
2、導函式的概念：如果函式在開區間（a,b）內可導，對於開區間（a,b）內的每乙個，都對應著乙個導數 ，這樣在開區間（a,b）內構成乙個新的函式，這一新的函式叫做在開區間（a,b）內的導函式， 記作
，導函式也簡稱為導數。
3、求在處的導數的步驟：（1）求函式的改變量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數。
4、導數的幾何意義：函式在點處的導數的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即曲線在點處的切線的斜率是，相應地切線的方程是。特別提醒：
（1）在求曲線的切線方程時，要注意區分所求切線是曲線上某點處的切線，還是過某點的切線：曲線上某點處的切線只有一條，而過某點的切線不一定只有一條，即使此點在曲線上也不一定只有一條；（2）在求過某一點的切線方程時，要首先判斷此點是在曲線上，還是不在曲線上，只有當此點在曲線上時，此點處的切線的斜率才是。如（1）p在曲線上移動，在點p處的切線的傾斜角為α，則α的取值範圍是______（答：
）；（2）直線是曲線的一條切線,則實數的值為_______（答：－3或1）；（3）已知函式（為常數）圖象上處的切線與的夾角為，則點的橫座標為_____（答：0或）；（4）曲線在點處的切線方程是答：
）；（5）已知函式，又導函式的圖象與軸交於。①求的值；②求過點的曲線的切線方程（答：①1；②或）。
5、導數的運算法則：（1）常數函式的導數為0，即（c為常數）； （2），與此有關的如下：；（3）若有導數，則①；②。
如（1）已知函式的導數為，則_____（答：）；（2）函式的導數為答：）；（3）若對任意，，則是______（答：
）6、多項式函式的單調性：
（1）多項式函式的導數與函式的單調性：
①若,則為增函式；若,則為減函式；若恒成立,則為常數函式；若的符號不確定,則不是單調函式。
②若函式在區間（）上單調遞增，則，反之等號不成立；若函式在區間（）上單調遞減，則，反之等號不成立。如（1）函式，其中為實數，當時，的單調性是______（答：增函式）；（2）設函式在上單調函式，則實數的取值範圍______（答：
）；（3）已知函式為常數）在區間上單調遞增，且方程的根都在區間內，則的取值範圍是答：）；（4）已知，，設，試問是否存在實數，使在上是減函式，並且在上是增函式？（答：
）（2）利用導數求函式單調區間的步驟：（1）求；（2）求方程的根，設根為；（3）將給定區間分成n+1個子區間，再在每乙個子區間內判斷的符號，由此確定每一子區間的單調性。如設函式在處有極值，且，求的單調區間。
（答：遞增區間（－1,1），遞減區間）
7、函式的極值：
（1）定義：設函式在點附近有定義，如果對附近所有的點，都有，就說是函式的乙個極大值。記作＝，如果對附近所有的點，都有，就說是函式的乙個極小值。
記作＝。極大值和極小值統稱為極值。
（2）求函式在某個區間上的極值的步驟：（i）求導數；（ii）求方程的根；（iii）檢查在方程的根的左右的符號：「左正右負」 在處取極大值；「左負右正」 在處取極小值。
特別提醒：（1）是極值點的充要條件是點兩側導數異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。（2）給出函式極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗「左正右負」(「左負右正」)的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！
如（1）函式的極值點是 a、極大值點 b、極大值點 c、極小值點d、極小值點（答：c）；（2）已知函式有極大值和極小值，則實數的取值範圍是_____（答：或）；（3）函式處有極小值10，則a+b的值為____（答：
－7）；（4）已知函式在區間[－1,2 ]上是減函式，那麼b＋c有最___值___（答：大，）
8、函式的最大值和最小值：
（1）定義：函式在一閉區間上的最大值是此函式在此區間上的極大值與其端點值中的「最大值」；函式在一閉區間上的最小值是此函式在此區間上的極小值與其端點值中的「最小值」。
（2）求函式在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函式在（）內的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與，比較，其中最大的乙個為最大值，最小的乙個為最小值。如（1）函式在[0，3]上的最大值、最小值分別是______（答：
5；）；（2）用總長14.8m的鋼條製作乙個長方體容器的框架，如果所製作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m。
那麼高為多少時容器的容積最大？並求出它的最大容積。（答：
高為1.2公尺時，容積最大為）
如（1）是的導函式，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是答：d )
（2）方程的實根的個數為______（答：1）；（3）已知函式，拋物線，當時，函式的圖象在拋物線的上方，求的取值範圍（答：）。
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