計算題1. 建立線性規劃模型(詳見書上第4頁，例題1)。
例：已知某廠生產三種產品 a,b,c 需要三種原料甲，乙，丙。原料的**量，每種產品的單位利潤，各產品單位所需原料見下表
求如何生產，使得利潤最大。
解：根據題意，設生產a，b，c各x1,x2,x3件
則利潤為：z=12x1+20x2+15x3
甲乙丙三種材料總量限制約束為
5x1+3x2+4x3<=100
2x1+x2+3x3<=90
3x1+2x2+x3<=110
因此規劃模型為
max z=12x1+20x2+15x3
5x1+3x2+4x3<=100
2x1+x2+3x3<=90
3x1+2x2+x3<=110
x1>=0,x2>=0,x3>=0
2. 將線性規劃模型化為標準型(標準型參見書10頁詳細定義)。
例：將下列規劃模型化為標準型。
min z=x1+2x2+4x3
5x1+x2<=10
6x1+3x2-x3>=20
x1>=0,x2>=0,x3>=0
解：根據標準型定義:
對第乙個約束條件新增新增鬆弛變數x4>=0，使得
5x1+x2+x4=10
對第二個約束條件新增新增鬆弛變數x5>=0，使得
6x1+3x2-x3-x5=20
將目標函式化為
max z』=-x1-2x2-4x3+0x4+0x5
則標準化的線性規劃模型為
max z』=-x1-2x2-4x3+0x4+0x5
5x1+x2+x4=10
6x1+3x2-x3-x5=20
x1,x2,x3,x4,x5>=0
3. 寫出線性規劃模型的對偶模型(詳見書上55頁表2.4，對偶變換規則)。
例：寫出規劃模型
min z=x1+2x2+4x3
5x1+x2<=10
6x1+3x2-x3>=20
x1>=0,x2>=0,x3>=0
的對偶模型。
解：根據表2.4，由於目標函式為min，則首先將上模型化為表中對應形式
min z=x1+2x2+4x3
5x1-x2>=-10注意min下約束為》=或=）
6x1+3x2-x3>=20
x1>=0,x2>=0,x3>=0
根據對偶規則，設變數y1，y2,則有對偶模型為
max z』=-10y1+20y2
5y1+6y2<=1
y1+3y2<=2
y2<=4
y1,y2>=0
4. 利用對偶定理(互補鬆弛定理) 在已知對偶問題最優解的情況下求原問題的解。(書上60頁例8)
例：已知線性規劃
min z=8y1+4y2+6y3
2y1+4y3>=5
2y1+3y2+y3>=4
y1,y2,y3>=0
的對偶規劃有最優解,x1=7/6,4/3.求該規劃的最優解。
解：首先寫出該規劃的對偶規劃：
max z』=5x1+4x2
2x1+2x2<=8
3x2<=4
4x1+x2<=6
根據最優解帶入上述約束，可得：
2x1+2x2=5<8, 3x2=4,4x1+x2=6
根據互補鬆弛定理，y1=0,且
4y3=5, 3y2+y3=4
解得原規劃的最優解為 y1=0, y2=11/12,y3=5/4。
5. 利用最小元素法或沃格爾法給出產銷平衡運輸問題的初始化方案(詳見書81-83頁)。
例：已知運輸問題表如下
用初始化方案。
解：最小元素法
沃爾沃法
6. 指派問題建立規劃模型(0-1規劃，詳見書上114頁例6)
例：略7. 利用破圈法或加邊法求最小生成樹(詳見書上155-156頁)
例：求下圖的最小生成樹
解：1.破圈法：去掉線段順序為：ac，ad，bd，因此最小生成樹為
2. 加邊法，新增順序為dc，cb，ab，結果如上圖。
8. 利用dijkstra演算法求圖中兩點間的最短路徑(詳見書上157頁)
例：略9. 解矩陣對策(詳見199-201)
例：**二人雙策略對策矩陣。已知a的贏得矩陣為
求該對策的的解。
解：設x1,1-x1分別表示a選策略1，和策略2的概率，則b選策略1 時，a的贏得線方程為
過(0,4),(1,1)的直線，方程為
y=-3x+4
b選策略2時，a的贏得線方程為過(0,2),(1,3)的直線，方程為
y=x+2
因此，兩直線的交點為：（1/2,5/2），所以該對策的對策值為5/2，此時a的對策值為(1/2,1/2)，同時b的對策值為(1/4,3/4)。
例：化簡矩陣對策，並求解該對策。(化簡規則詳見201)，例題見例5。
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