第四章曲線運動萬有引力與航天
考綱要覽
考向**
縱觀歷年考題，與本章內容相關的考題知識覆蓋面寬，常與電場、磁場、機械能等知識綜合成難度較大的試題，學習過程中應加強綜合能力的培養．近幾年對人造衛星問題考查頻率較高，它是對萬有引力的考查．衛星問題與現代科技結合密切，對理論聯絡實際的能力要求較高，要引起足夠重視．在高考題中本章內容以選擇、填空、計算等題型出現都有可能．
第1課時曲線運動質點在平面內的運動
基礎知識回顧
1．曲線運動
（1）曲線運動中的速度方向
做曲線運動的物體，速度的方向時刻在改變，在某點（或某一時刻）的速度方向是曲線上該點的切線方向．
（2）曲線運動的性質
由於曲線運動的速度方向不斷變化，所以曲線運動一定是變速運動，一定存在加速度．
（3）物體做曲線運動的條件
物體所受合外力（或加速度）的方向與它的速度方向不在同一直線上．
①如果這個合外力是大小和方向都恆定的，即所受的力為恒力，物體就做勻變速曲線運動，如平拋運動．
②如果這個合外力大小恆定，方向始終與速度垂直，物體就做勻速圓周運動．
③做曲線運動的物體，其軌跡向合外力所指一方彎曲．根據曲線運動的軌跡，可以判斷出物體所受合外力的大致方向．
說明：當物體受到的合外力的方向與速度方向的夾角為銳角時，物體做曲線運動速率將增大，當物體受到的合外力的方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體做曲線運動的速率將減小．
2．運動的合成與分解
（1）合運動與分運動的特徵
①等時性：合運動和分運動是同時發生的，所用時間相等．
②等效性：合運動跟幾個分運動共同疊加的效果相同．
③獨立性：乙個物體同時參與幾個運動，各個分運動獨立進行，互不影響．
（2）已知的分運動來求合運動，叫做運動的合成，包括位移、速度和加速度的合成．遵循平行四邊形定則．
①兩分運動在同一直線上時，先規定正方向，凡與正方向相同的取正值，相反的取負值，合運動為各分運動的代數和．
②不在同一直線上，按照平行四邊形定則合成（如圖4-1-1示）．
③兩個分運動垂直時，正交分解後的合成為
（3）已知合運動求分運動，叫運動的分解，解題時應按實際「效果」分解，或正交分解．
重點難點例析
一、怎樣確定物體的運動軌跡？
1．同一直線上的兩分運動（不含速率相等，方向相反情形）的合成，其合運動一定是直線運動．
2．不在同一直線上的兩分運動的合成．
（1）若兩分運動為勻速運動，其合運動一定是勻速運動．
（2）若兩分運動為初速度為0的勻變速直線運動，其合運動一定是勻變速直線運動．
（3）若兩分運動中，乙個做勻速運動，另乙個做勻變速直線運動，其合運動一定是勻變速曲線運動（如平拋運動）．
（4）若兩分運動均為初速度不為0的勻加（減）速直線運動，其合運動不一定是勻加（減）速直線運動，如圖4-1-2、圖4-1-3所示）．圖4-1-2情形為勻變速曲線運動；圖4-1-3情形為勻變速直線運動（勻減速情形圖未畫出），此時有．
【例1】關於不在同一直線的兩個初速度不為零的勻變速直線運動的合運動，下列說法正確的是（ ）
a．一定是直線運動
b．一定是曲線運動
c．可能是直線運動，也可能是曲線運動
d．一定是勻變速運動
【解析】兩個分運動的加速度恆定，因此合加速度是恆定的，所以合運動的性質一定是勻變速運動；當合速度與合加速度在一條直線上時，合運動是直線運動，當合速度與合加速度不在一條直線上時，合運動是曲線運動．所以cd正確．
【答案】cd
【點撥】兩直線運動的合運動的性質和軌跡，由兩個因素決定：一是分運動的性質，二是合運動的初速度與合運動的加速度方向
● 拓展
如圖4-1-4圖示，物體在恒力f作用下沿曲線從a運動到b，這時突然使它所受的力方向改變而大小不變（即由f變為-f），在此力作用下物體以後運動情況，下列說法正確的是（ ）
a．物體不可能沿曲線ba運動
b．物體不可能沿直線bb運動
c．物體不可能沿曲線bc運動
d．物體不可能沿原曲線由b返回a
【解析】物體在a點時的速度va沿a點切線方向，物體在恒力f作用下沿曲線ab運動，此力f必有垂直於va的分量，即力f只可能沿為圖中所示的各種方向之一；當物體運動到達b點時，瞬時速度vb沿b點的切線方向，這是時受力f/=-f，即f/只可能為圖中所示的方向之一；可知物體以後只可能沿曲線bc運動．
【答案】abd
二、船過河問題的分析與求解方法
1．處理方法：船在有一定流速的河中過河時，實際上參與了兩個方向的運動，即隨水流的運動（水沖船的運動）和船相對水的運動（即在靜水中的船的運動），船的實際運動是合運動．
2．對船過河的分析與討論．
設河寬為d，船在靜水中速度為v船，水流速為v水．
（1）船過河的最短時間
如圖4-1-6所示，設船頭斜向上游與河岸成任意夾角θ，這時船速在垂直河岸方向的速度分量為v1=v船sinθ，則過河時間為，可以看出，d、v船一定時，t隨sinθ增大而減小；當θ=90°時，即船頭與河岸垂直時，過河時間最短．到達對岸時船沿水流方向位移x=v水tmin=．
（2）船過河的最短位移
①v船》v水
如圖4-1-6所示，設船頭斜指向上游，與河岸夾角θ．當船的合速度垂直於河岸時，此情形下過河位移最短，且最短位移為河寬d．此時有v船cosθ=v水，即．
②v船如圖4-1-7所示，無論
船向哪乙個方向開，船不可
能垂直於河岸過河．設船頭
與河岸成θ角，合速度v合與
河岸成α角．可以看出：α角
越大，船漂下的距離x越
短，那麼，在什麼條件下α角最大呢？以v水的矢尖為圓心，v船為半徑畫圓，當v合與圓相切時，α角最大，根據，船頭與河岸的夾角應為
，船沿河漂下的最短距離為：．
此情形下船過河的最短位移：．
【例2】如圖4-1-8所
示，一條小船位於200m
寬的河的正中點a處，
從這裡向下游100m處有一危險區，當時水流速度為4.0m/s，為了使小船避開危險區沿直線到達對岸，小船在靜水中的速度至少是（ ）
a． m/sb． m/s
c．2.0m/sd．4.0m/s
【解析】如圖4-1-9所示，要使小船避開危險區沿直線到達對岸，小船的合速度方向範圍為水平方向ab（不包括ab）到ac之間．由圖中幾何關係可知，當合速度方向沿ac，小船垂直ac開行，其在靜水中的速度最小．由圖可知，
，即θ=30°，
故v船=v水sinθ=2.0m/s．
【答案】c
【點撥】本題關鍵是確定小
船避開危險區沿直線到達對岸時小船的合速度方向而做出速度向量三角形，從圖知當小船垂直ac開行，其在靜水中的速度最小．本題易出現錯解的情形是：認為當小船垂直河岸開行，在靜水中的速度最小，此時v船=v水tanθ=m/s．
● 拓展
在抗洪搶險中，戰士駕駛摩托艇救人，假設江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2，戰士救人的地點a離岸邊最近處o的距離為d，如戰士想在最短時間內將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離o點的距離為（ ）
ab．0
cd．【解析】摩托艇要想在最短時間內到達對岸，其划行方向要垂直於江岸，摩托艇實際的運動是相對於水的划行運動和隨水流的運動的合運動，垂直於江岸方向的運動速度為v2，到達江岸所用時間t=；沿江岸方向的運動速度是水速v1在相同的時間內，被水沖下的距離，即為登陸點距離0點距離
s=v1t=．
【答案】c
三、如何分解用繩（或杆）連線物體的速度？
1．乙個速度向量按向量運算法則分解為兩個速度，但若與實際情況不符，則所得分速度毫無物理意義，所以速度分解的乙個基本原則就是按實際效果進行分解．通常先虛擬合運動（即實際運動）的乙個位移，看看這個位移產生了什麼效果，從中找到兩個分速度的方向；最後利用平行四邊形畫出合速度和分速度的關係圖，由幾何關係得出他們的關係．
2．由於高中研究的繩都是不可伸長的，杆都是不可伸長和壓縮的，即繩或杆的長度不會改變，所以解題原則是：把物體的實際速度分解為垂直於繩（或杆）和平行於繩（或杆）兩個分量，根據沿繩（杆）方向的分速度大小相同求解．
易錯門診
【例3】如圖4-1-10所示，卡車通過定滑輪牽引河中的小船，小船一直沿水面運動．在某一時刻卡車的速度為υ，繩ao段與水平面夾角為，不計摩擦和輪的質量，則此時小船的水平速度多大？
圖4-1-10
【錯解】將繩的速度按圖4-1-11所示的方法分解，則υ1即為船的水平速度υ1=υ·cosθ．
【錯因】上述錯誤的原因是沒有弄清船的運動情況．船的實際運動是水平向右的勻速運動，每一時刻船上各點都有相同的水平速度而ao繩上各點運動比較複雜．以連線船上的a點來說，它有沿繩的速度υ，也有與υ垂直的法向速度υn，即轉動分速度，a點的合速度υa即為兩個分速度的向量和υa=．
【正解】小船的運動為平動，而繩ao上各點的運動是平動＋轉動．以連線船上的a點為研究物件，如圖4-1-12，a的平動速度為υ，轉動速度為υn，合速度υa即與船的平動速度相同．則由圖可以看出
.【點悟】本題中也許學生不易理解繩上各點的運動，關鍵是要弄清合運動就是船的實際運動，只有實際位移 、實際加速度、實際速度才可分解，即實際位移 、實際加速度、實際速度在平行四邊形的對角線上.
課堂自主訓練
1．小船在靜水中速度為v1，今小船要渡過一條河流，過河的小船始終垂直對岸划行，若小船划行到河中間時，河水流速忽然由v2增大到2，則過河時間與預定時間相比，將（ ）
a．增長b．不變
c．縮短d．無法確定
【解析】合運動、分運動都是獨立的，且具有等時性．小船渡河速度不變，則渡河時間就不變，與河水速度的變化無關，但河水流速的變化會影響船沿河岸方向的位移．選項b正確．
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