1．已知a≥0，函式.
（1）當x為何值時，取得最小值？證明你的結論；
（2）設在[－1，1]上是單調函式，求a的取值範圍.
分析：（1）的定義域為（－∞，+∞）.由導數應用可知，結合的單調性，的最值可能在極值
點或區間端點取到.所以應考慮x→±∞時的取值.
（2）由（1）確定了的單調性，就可以確定在[－1，1]上的單調性了.
解析：（1）令，解得，且
當x變化時，列表如下：
又當x＜0時，
當x=x2時，
∴，即當x=x2時，取最小值.
（2）由（1）知若在[－1，1]上單調遞減
則x2≥1 即
解不等式得
反思：（1）結合圖形來判斷函式最值的情況.事實上，函式圖象草圖如圖所示.
（2）準確分析的極值點的範圍有助於確定在給定區間的單調性.
2．已知在x=1與x=－2時都取得極值.
（1）求a，b的值；
（2）若x∈[－3，2]都有恆成立，求c的取值範圍.
分析：（1）已知的極值點，即已知的零點
（2），問題即轉化為求解在[－3，2]上的最小值.
解析：（1）由已知，解得
（2），
令，解得x1=－2，x2=1
當x變化時，列表如下：
∴，∴解得反思：利用函式最值比較不等式.
3．已知定義在正實數集上的函式，，其中a＞0.設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同.
（1）用a表示b，並求b的最大值；
（2）求證：（）
分析：（1）與在公共點處切線相同，則函式在該點導數相等.
（2）構造輔助函式，則只需.
解析：（1），
令，解得x=a或x=－3a
由已知x＞0，∴x=a
又，∴，∴
設令，∴當a變化時，列表如下：
∴（2）令
令，解得x=a或x=－3a（舍）
當x變化時列表如下
∴∴當x＞0時， 即
4．已知，.
（1）求的值域；
（2）設a≥1，函式，x∈[0，1]，若對於任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1]，
使得成立，求a的取值範圍.
分析：（1）常規問題；
（2）由題可知，只需滿足即且
解析：（1）令，解得x1=1，（舍）
∴在[0，1]單調遞減
∴，，的值域為[―4，－3]
（2）令，解得x1=0，x2=2a（舍）
∴在[0，1]單調遞減
∴，由已知，解得
反思：（1）對於第（2）問，對兩個量詞（「任意」「存在」）的理解.
（2）若將第（2）問改為：若對於任意x1∈[0，1]，任意x0∈[0，1]，使得，則需要滿足
的條件即為.一方面要注意與例3的聯絡與差別，另一方面例3的第（2）問並不
等價於.如圖所示，任意，但.
5．已知函式有三個極值點.
（1）證明：－27＜c＜5；
（2）若存在實數c，使函式在區間[a，a+2]上單調遞減，求a的取值範圍.
分析：（1）有三個極值點，則有三個零點.
（2）在[a，a+2]單調遞減，則.
解析：（1），令
∴令，∴x＜－3或x＞1
即在（－∞，－3），（1，+∞）單調遞增
∴若在3個極值點
則，即∴－27＜c＜5
（2）由題意可知，任意x∈[a，a+2]有恆成立
∴對任意x∈[a，a+2]成立
由已知，存在c∈(－27，5)使上述不等式成立
則只需對任意x∈[a，a+2]成立
令，x∈[a，a+2]
，令，x1=－3，x2=1
當x變化時，列表如下
由題意可知 a+2＜－3 或
解得a∈(－∞,－5)∪(－3,1)
反思：結合函式圖象確定函式的值的符號.
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