型別一：導數的運算與導數的幾何意義
思路點撥：首先設出點的座標，再利用導數得切線的斜率，求出直線的方程，最後求出直線在軸上的截距最小時的點的座標.
解析：設出點的座標，
∵，∴，
∴直線的方程：
令，則直線在軸上的截距
∵，∴，
∵令，即，得或（捨去）
列表：∴當時，取得極小值，就是最小值，
∴點的座標
舉一反三：
【變式1】已知曲線的一條切線與直線平行，求切線.
【答案】設切點，
∵切線與直線平行，∴，
解得， ∴切點，故切線：.
【變式2】在曲線c：上，求斜率最小的切線所對應的切點.
【答案】
∴當時，取得最小值-13
又當時，
∴斜率最小的切線對應的切點為；
型別二：函式的單調性、極值、最值
2、設函式，求的單調區間和極值.
思路點撥：先對求導，令 ，再對字母進行討論即可.
解析：令得即，解得或，
（1）當時，，在上單調遞減，沒有極值；
（2）當時，由得，由得或，
∴當或時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
∴的遞減區間為，；遞增區間為；
（3）當時，由得，由得或，
∴當或時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
∴的遞減區間為，；遞增區間為；
舉一反三：
【變式1】已知函式 ，求證：函式在區間上為遞增函式；
【答案】∵，
記（），則 ，
在上單調遞增，
當時， ∴當時，∴在上單調遞增，
【變式2】是否存在正實數，使函式在上遞減，在上遞增，若存在，求出的值.
【答案】，
由題意知：當時，當時，
∴，即，解得或
驗證：當時，
∴若，則；若， 則， 符合題意；
綜上可知，存在使在上遞減，在上遞增.
【變式3】已知，討論導數的極值點的個數.
【答案】
令，得（1）當，
即或時，方程有兩個不同的實根、，不防設，
於是，從而有下表：
即此時有兩個極值點；
（2）當即時，方程有兩個相同的實根，
於是，故當時，；當時，，
因此無極值；
（3）當即時，，
而，故為增函式.此時無極值；
當時，有兩個極值點；當時，無極值點.
3、已知函式（為實數）
（1）若在處有極值，求的值；
（2）若在上是增函式，求的取值範圍.
思路點撥：函式在點處有極值的必要條件為；當在上是增函式時，在恆成立.
解析：（1）由已知得的定義域為，
由題設得 ，即，∴；
（2）由題設知：對恆成立，即
對恆成立，
∵， ∴對恆成立，
即對恆成立，
令，則恆成立
（ⅰ）當時，不符合；
（ⅱ）當時，拋物線開口向下，對稱軸為，
即，解得；
（ⅲ）當時，拋物線開口向上，對稱軸為，
即，解得，這與矛盾；
綜上可知：所求的取值範圍為.
總結昇華：
1．注意到可導函式在點處有極值的必要條件為，利用這一必要條件切入討論，在必
要條件的基礎上討論或求索，此為解決比較複雜問題的基本方略.
2．這裡的已知條件經過了兩次轉化：已知在某區間上的單調性→某不等式在給定區間上恆成立
→另一函式的最值問題，展示了上述三個問題之間相互聯絡，相互貫通的密切聯絡.
3．借助導數，這裡將函式的單調性證明轉化為關於導函式的（條件）不等式，展示了在導數背景之下
單調性與不等式更為密切的聯絡.
舉一反三：
【變式1】設函式，其中.
①若在處取得極值，求常數a的值；
②若在上為增函式，求a的取值範圍.
【答案】
（ⅰ）因取得極值，所以解得
經檢驗知當為極值點.
（ⅱ）令
當和上為增
函式，故當上為增函式.
當上為增函式，
從而上也為增函式.
綜上所述，當上為增函式.
【變式2】已知函式在處取得極值0，若曲線過點且在點p處的切線與直線垂直.
（1）求；
（2）若在區間上遞增，求的取值範圍.
【答案】
（1），
由題設得 ，即，
解得：，，，
故（2），
由，得或，
法一：由題設得：在上恆成立，
令，則在上有成立，
又∵拋物線的開口向上，對稱軸為，且即
∴或，解得或，
∴所求m的取值範圍為 .
法二：由得或，
∵在區間上遞增，
∴或，即或，解得或，
∴所求的最值範圍為
【變式3】已知定義在r上的函式 ，，問：是否存在這樣的區間，對任意的a的可能取值，函式在該區間上都是單調遞增的？若存在，求出這樣的區間；若不存在，請說明理由.
【答案】，，
令，則為的一次（型）函式，
∴對任意恆成立不等式對任意恆成立，
∴即，解得或
∴當或時對任意恆成立
∴對任意，在或上都是單調遞增的
∴存在區間和，對任意的，函式在該區間內均是單調遞增函式.
型別三：定積分及其應用
4．求定積分
（1）； （2）；
（3）； （4）.
思路點撥：本題的幾個被積函式比較複雜，要先化簡再利用微積分基本定理積分.
解析：（1）∵，
∴（2）∵
∴，（3）（4）∵
∴ .總結昇華：化簡被積函式是積分的前提，直到最簡為止.
舉一反三：
【變式1】計算下列定積分的值.
（1）； （2）； （3）.
【答案】
（1），
（2）.
（3）.
【變式2】求定積分：
【答案】∵是偶函式，
∴.【變式3】求定積分：
【答案】
5．求直線與拋物線所圍成的圖形面積.
思路點撥： 先畫出符合題意的圖形，由圖形可以看出所求的面積是乙個梯形與曲邊梯形之差，進而可以用定積分求解.為了確定定積分的上下限，要求出兩條曲線的交點的橫座標.
解析：如圖，由得交點，，
所求面積：
.總結昇華：
應用定積分求圖形面積解答步驟：
1．畫出圖形，確定積分變數；
2．求出交點，確定被積函式和上下限；
3．寫出定積分表示式,一般是位置在上面的函式減去位置在下面的函式的差作為被積函式；
4．求出平面圖形的面積.
舉一反三：
【變式1】求由曲線圍成的平面圖形的面積.
【答案】由得；
由得.所求面積：
【變式2】在曲線上的某點a處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為. 試求：切點a的座標以及切線方程.
【答案】設點，則切線，即，
則由，得點，
∴，∴，即，解得.
∴切點，切線.
【變式3】已知函式與直線（為常數且）,若直線與的圖象以及軸所圍成封閉圖形的面積是, 直線與的圖象所圍成封閉圖形的面積是,設,當取最小值時,求的值．
【答案】
據題意, 直線與的圖象的交點：,，
由定積分的幾何意義知
==而 令或(不合題意,捨去)
當故當時,有最小值.
導數經典例題精析 3
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