第十講導數題的解題技巧
【命題趨向】導數命題趨勢：
綜觀2023年全國各套高考數學試題，我們發現對導數的考查有以下一些知識型別與特點：
（1）多項式求導（結合不等式求引數取值範圍）,和求斜率（切線方程結合函式求最值）問題.
（2）求極值, 函式單調性,應用題,與三角函式或向量結合.
分值在12---17分之間，一般為1個選擇題或1個填空題，1個解答題.
【考點透視】
1．了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函式在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函式的概念．
2．熟記基本導數公式；掌握兩個函式和、差、積、商的求導法則．了解復合函式的求導法則，會求某些簡單函式的導數．
3．理解可導函式的單調性與其導數的關係；了解可導函式在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數在極值點兩側異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函式）的最大值和最小值．
【例題解析】
考點1 導數的概念
對概念的要求：了解導數概念的實際背景，掌握導數在一點處的定義和導數的幾何意義，理解導函式的概念.
例1．（2023年北京卷）是的導函式，則的值是 ．
[考查目的] 本題主要考查函式的導數和計算等基礎知識和能力.
[解答過程]
故填3.
例2. ( 2023年湖南卷）設函式,集合m=,p=,若mp,則實數a的取值範圍是
a.(-∞,1) b.(0,1) c.(1,+∞) d. [1,+∞)
[考查目的]本題主要考查函式的導數和集合等基礎知識的應用能力.
[解答過程]由
綜上可得mp時,
考點2 曲線的切線
（1）關於曲線在某一點的切線
求曲線y=f(x)在某一點p（x,y）的切線，即求出函式y=f(x)在p點的導數就是曲線在該點的切線的斜率.
（2）關於兩曲線的公切線
若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.
典型例題
例3.（2023年湖南文）已知函式在區間，內各有乙個極值點．
（i）求的最大值；
（ii）當時，設函式在點處的切線為，若在點處穿過函式的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函式的表示式．
思路啟迪：用求導來求得切線斜率.
解答過程：（i）因為函式在區間，內分別有乙個極值點，所以在，內分別有乙個實根，
設兩實根為（），則，且．於是
，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16．
（ii）解法一：由知在點處的切線的方程是
，即，因為切線在點處空過的圖象，
所以在兩邊附近的函式值異號，則
不是的極值點．
而，且．
若，則和都是的極值點．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函式值異號，於是存在（）．
當時，，當時，；
或當時，，當時，．
設，則當時，，當時，；
或當時，，當時，．
由知是的乙個極值點，則，
所以，又由，得，故．
例4.（2023年安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）
ab．cd．[考查目的]本題主要考查函式的導數和直線方程等基礎知識的應用能力.
[解答過程]與直線垂直的直線為，即在某一點的導數為4，而，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為.
故選a.
例5． ( 2023年重慶卷)過座標原點且與x2+y2 -4x+2y+=0相切的直線的方程為 ( )
或y=x b. y=-3x或y=-x 或y=-x d. y=3x或y=x
[考查目的]本題主要考查函式的導數和圓的方程、直線方程等基礎知識的應用能力.
[解答過程]解法1：設切線的方程為
又故選a.
解法2:由解法1知切點座標為由
故選a.
例6.已知兩拋物線,取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.
思路啟迪：先對求導數.
解答過程：函式的導數為，曲線在點p()處的切線方程為，即 ①
曲線在點q的切線方程是即
若直線是過點p點和q點的公切線，則①式和②式都是的方程，故得
，消去得方程，
若△=，即時，解得，此時點p、q重合.
∴當時，和有且只有一條公切線，由①式得公切線方程為.
考點3 導數的應用
中學階段所涉及的初等函式在其定義域內都是可導函式，導數是研究函式性質的重要而有力的工具，特別是對於函式的單調性，以「導數」為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函式的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結合起來，極大地豐富了中學數學思想方法.複習時，應高度重視以下問題:
1.. 求函式的解析式; 2. 求函式的值域; 3.解決單調性問題; 4.求函式的極值（最值）;
5.建構函式證明不等式.
典型例題
例7．（2023年天津卷）函式的定義域為開區間，導函式在內的圖象如圖所示，則函式在開區間內有極小值點（ ）
a．1個
b．2個
c．3個
d． 4個
[考查目的]本題主要考查函式的導數和函式圖象性質等基礎知識的應用能力.
[解答過程]由圖象可見,在區間內的圖象上有乙個極小值點.
故選a.
例8 .（2023年全國一）設函式在及時取得極值．
（ⅰ）求a、b的值；
（ⅱ）若對於任意的，都有成立，求c的取值範圍．
思路啟迪：利用函式在及時取得極值構造方程組求a、b的值．
解答過程：（ⅰ），
因為函式在及取得極值，則有，．
即解得，．
（ⅱ）由（ⅰ）可知，，
．當時，；
當時，；
當時，．
所以，當時，取得極大值，又，．
則當時，的最大值為．
因為對於任意的，有恆成立，
所以 ，
解得或，
因此的取值範圍為．
例9.函式的值域是
思路啟迪：求函式的值域，是中學數學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解，也可以利用函式的單調性求出最大、最小值。此例的形式結構較為複雜，採用導數法求解較為容易。
解答過程：由得，，即函式的定義域為.
，又，當時，，
函式在上是增函式，而，的值域是.
例10．（2023年天津卷）已知函式，其中為引數，且．
（1）當時，判斷函式是否有極值；
（2）要使函式的極小值大於零，求引數的取值範圍；
（3）若對（2）中所求的取值範圍內的任意引數，函式在區間內都是增函式，求實數的取值範圍．
[考查目的]本小題主要考查運用導數研究三角函式和函式的單調性及極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數學思想方法.
[解答過程]（ⅰ）當時，，則在內是增函式，故無極值.
（ⅱ），令，得.
由（ⅰ），只需分下面兩種情況討論.
①當時，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：
因此，函式在處取得極小值，且.
要使，必有，可得.
由於，故.
當時，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：
因此，函式處取得極小值，且
若，則.矛盾.所以當時，的極小值不會大於零.
綜上，要使函式在內的極小值大於零，引數的取值範圍為.
（）解：由（）知，函式在區間與內都是增函式。
由題設，函式內是增函式，則a須滿足不等式組
或由（），引數時時，.要使不等式關於引數恆成立，必有，即.
綜上，解得或.
所以的取值範圍是.
例11．(2023年山東卷)設函式f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區間.
[考查目的]本題考查了函式的導數求法,函式的極值的判定,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力
[解答過程]由已知得函式的定義域為，且
（1）當時，函式在上單調遞減，
（2）當時，由解得
、隨的變化情況如下表
從上表可知
當時，函式在上單調遞減.
當時，函式在上單調遞增.
綜上所述：當時，函式在上單調遞減.
當時，函式在上單調遞減，函式在上單調遞增.
例12．（2023年北京卷）已知函式在點處取得極大值，其導函式的圖象經過點，，如圖所示.求：
（ⅰ）的值；
（ⅱ）的值.
[考查目的]本小題考查了函式的導數,函式的極值的判定,閉區間上二次函式的最值, 函式與方程的轉化等基礎知識的綜合應用,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力
[解答過程]解法一：（ⅰ）由影象可知，在上，在上，在上,
故在上遞增，在上遞減，
因此在處取得極大值，所以
（ⅱ）由得解得
解法二：（ⅰ）同解法一
（ⅱ）設又所以
由即得所以
例13．（2023年湖北卷）設是函式的乙個極值點.
（ⅰ）求與的關係式（用表示），並求的單調區間；
（ⅱ）設，.若存在使得成立，求的取值範圍.
[考查目的]本小題主要考查函式、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力.
[解答過程]（ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
則 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由於x＝3是極值點，
所以x+a+1≠0，那麼a≠－4.
當a<－4時，x2>3＝x1，則
在區間（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)為減函式；
在區間（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)為增函式；
在區間（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函式.
當a>－4時，x2<3＝x1，則
在區間（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)為減函式；
在區間（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)為增函式；
在區間（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函式.
（ⅱ）由（ⅰ）知，當a>0時，f (x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，那麼f (x)在區間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，
那麼f (x)在區間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
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