函式一章基礎知識
一、對映與函式：
（1）對映的概念： （2）一一對映：（3）函式的概念：
如：若，；問：到的對映有個，到的對映有個；到的函式有個，若，則到的一一對映有個。
函式的圖象與直線交點的個數為個。
二、函式的三要素
相同函式的判斷方法兩點必須同時具備)
（1）函式解析式的求法：
①定義法（拼湊）：②換元法：③待定係數法：④賦值法：
（2）函式定義域的求法：
①，則則
③，則如：，則
⑤含參問題的定義域要分類討論；
如：已知函式的定義域是，求的定義域。
⑥對於實際問題，在求出函式解析式後；必須求出其定義域，此時的定義域要根據實際意義來確定。如：已知扇形的周長為20，半徑為，扇形面積為，則 ；定義域為
（3）函式值域的求法：
①配方法：轉化為二次函式，利用二次函式的特徵來求值；常轉化為型如：的形式；
②逆求法（反求法）：通過反解，用來表示，再由的取值範圍，通過解不等式，得出的取值範圍；常用來解，型如：；
④換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函式，化歸思想；
⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函式，運用三角函式有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調性法：函式為單調函式，可根據函式的單調性求值域。
⑧數形結合：根據函式的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。
求下列函式的值域：①（2種方法）；
②（2種方法）；③（2種方法）；
三、函式的性質：
函式的單調性、奇偶性、週期性
單調性：定義：注意定義是相對與某個具體的區間而言。
判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）
導數法（適用於多項式函式）
復合函式法和影象法。
應用：比較大小，證明不等式，解不等式。
奇偶性：定義：注意區間是否關於原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關係。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函式；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函式。
判別方法：定義法， 影象法 ，復合函式法
應用：把函式值進行轉化求解。
週期性：定義：若函式f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+t)=f(x),則t為函式f(x)的週期。
其他：若函式f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函式f(x)的週期.
應用：求函式值和某個區間上的函式解析式。
四、圖形變換：函式影象變換：（重點）要求掌握常見基本函式的影象，掌握函式影象變換的一般規律。
常見影象變化規律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯絡起來思考）
平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：（ⅰ）有係數，要先提取係數。如：把函式ｙ＝ｆ(２ｘ)經過平移得到函式ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的圖象。
（ⅱ）會結合向量的平移，理解按照向量（ｍ，ｎ）平移的意義。
對稱變換 y=f(x)→y=f(－x),關於ｙ軸對稱
y=f(x)→y=－f(x) ,關於ｘ軸對稱
y=f(x)→y=f|x|,把ｘ軸上方的圖象保留，ｘ軸下方的圖象關於ｘ軸對稱
y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ軸右邊的圖象保留，然後將ｙ軸右邊部分關於ｙ軸對稱。（注意：它是乙個偶函式）
伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=af(ωx+φ)具體參照三角函式的圖象變換。
乙個重要結論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函式y=f(x)的影象關於直線x=a對稱；
如：的圖象如圖，作出下列函式圖象：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；
（9）。
五、反函式：
（1）定義：
（2）函式存在反函式的條件
（3）互為反函式的定義域與值域的關係
（4）求反函式的步驟：①將看成關於的方程，解出，若有兩解，要注意解的選擇；②將互換，得；③寫出反函式的定義域（即的值域）。
（5）互為反函式的圖象間的關係
（6）原函式與反函式具有相同的單調性；
（7）原函式為奇函式，則其反函式仍為奇函式；原函式為偶函式，它一定不存在反函式。
如：求下列函式的反函式：；；
七、常用的初等函式：
（1）一元一次函式：，當時，是增函式；當時，是減函式；
（2）一元二次函式：
一般式：；對稱軸方程是頂點為
兩點式：；對稱軸方程是 ；與軸的交點為
頂點式：；對稱軸方程是頂點為
①一元二次函式的單調性：
當時： 為增函式； 為減函式；當時： 為增函式； 為減函式；
②二次函式求最值問題：首先要採用配方法，化為的形式，
ⅰ、若頂點的橫座標在給定的區間上，則
時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
ⅱ、若頂點的橫座標不在給定的區間上，則
時：最小值在距離對稱軸較近的端點處取得，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
時：最大值在距離對稱軸較近的端點處取得，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
有三個型別題型：
(1)頂點固定，區間也固定。如：
(2)頂點含引數(即頂點變動)，區間固定，這時要討論頂點橫座標何時在區間之內，何時在區間之外。
(3)頂點固定，區間變動，這時要討論區間中的引數．
③二次方程實數根的分布問題： 設實係數一元二次方程的兩根為；則：
注意：若在閉區間討論方程有實數解的情況，可先利用在開區間上實根分布的情況，得出結果，在令和檢查端點的情況。
（3）反比例函式：
（4）指數函式：
指數運算法則
指數函式：y= (a>o,a≠1)，圖象恆過點（0，1），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0（5）對數函式：
指數運算法則
對數函式：y= (a>o,a≠1) 圖象恆過點（1，0），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0注意：（1）與的圖象關係是
（2）比較兩個指數或對數的大小的基本方法是構造相應的指數或對數函式，若底數不相同時轉化為同底數的指數或對數，還要注意與1比較或與0比較。
（3）已知函式的定義域為，求的取值範圍。
已知函式的值域為，求的取值範圍。
六、的圖象：
定義域值域奇偶性單調性是增函式是減函式。
七、補充內容：
抽象函式的性質所對應的一些具體特殊函式模型：
①正比例函式
②； ；
函式一章要注意的問
1． 函式的幾個重要性質：
①如果函式對於一切，都有，那麼函式的圖象關於直線對稱.
②函式與函式的圖象關於直線對稱；
函式與函式的圖象關於直線對稱；
函式與函式的圖象關於座標原點對稱.
③函式與函式的圖象關於直線對稱.
④若奇函式在區間上是遞增函式，則在區間上也是遞增函式．
⑤若偶函式在區間上是遞增函式，則在區間上是遞減函式．
⑥函式的圖象是把函式的圖象沿x軸向左平移a個單位得到的；
⑦函式(的圖象是把函式的圖象沿x軸向右平移個單位得到的；
⑧函式+a的圖象是把函式助圖象沿y軸向上平移a個單位得到的;
⑨函式+a的圖象是把函式助圖象沿y軸向下平移個單位得到的.
⑩函式的圖象是把函式的圖象沿x軸伸縮為原來的得到的；
⑾函式的圖象是把函式的圖象沿y軸伸縮為原來的a倍得到的.
2． 求乙個函式的解析式和乙個函式的反函式時，你標註了該函式的定義域了嗎？
3． 函式與其反函式之間的乙個有用的結論：
4． 原函式在區間上單調遞增，則一定存在反函式，且反函式也單調遞增；但乙個函式存在反函式，此函式不一定單調．
5． 判斷乙個函式的奇偶性時，你注意到函式的定義域是否關於原點對稱這個必要非充分條件了嗎？
6． 根據定義證明函式的單調性時，規範格式是什麼？(取值, 作差, 判正負.)
10. 你知道函式的單調區間嗎？（該函式在或上單調遞增；在或上單調遞減）這可是乙個應用廣泛的函式！
11. 解對數函式問題時，你注意到真數與底數的限制條件了嗎？（真數大於零，底數大於零且不等於1）字母底數還需討論呀.
12. 對數的換底公式及它的變形，你掌握了嗎？（）
13. 你還記得對數恒等式嗎？（）
14. 「實係數一元二次方程有實數解」轉化為「」，你是否注意到必須；當a=0時，「方程有解」不能轉化為．若原題中沒有指出是「二次」方程、函式或不等式，你是否考慮到二次項係數可能為零的情形？
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